First distributive law (first direction):
1. Proposition
((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) (hilb36)
1 | ((P Ù Q) ® P) | add proposition hilb24 |
2 | ((P Ù A) ® P) | replace proposition variable Q by A in 1 |
3 | ((B Ù A) ® B) | replace proposition variable P by B in 2 |
4 | ((Q Ù A) ® Q) | replace proposition variable B by Q in 3 |
5 | ((P ® Q) ® ((A Ú P) ® (A Ú Q))) | add axiom axiom4 |
6 | ((P ® Q) ® ((B Ú P) ® (B Ú Q))) | replace proposition variable A by B in 5 |
7 | ((P ® C) ® ((B Ú P) ® (B Ú C))) | replace proposition variable Q by C in 6 |
8 | ((D ® C) ® ((B Ú D) ® (B Ú C))) | replace proposition variable P by D in 7 |
9 | ((D ® C) ® ((P Ú D) ® (P Ú C))) | replace proposition variable B by P in 8 |
10 | ((D ® Q) ® ((P Ú D) ® (P Ú Q))) | replace proposition variable C by Q in 9 |
11 | (((Q Ù A) ® Q) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú Q))) | replace proposition variable D by (Q Ù A) in 10 |
12 | ((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú Q)) | modus ponens with 4, 11 |
13 | ((P Ù Q) ® Q) | add proposition hilb25 |
14 | ((P Ù A) ® A) | replace proposition variable Q by A in 13 |
15 | ((B Ù A) ® A) | replace proposition variable P by B in 14 |
16 | ((Q Ù A) ® A) | replace proposition variable B by Q in 15 |
17 | ((D ® A) ® ((P Ú D) ® (P Ú A))) | replace proposition variable C by A in 9 |
18 | (((Q Ù A) ® A) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú A))) | replace proposition variable D by (Q Ù A) in 17 |
19 | ((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú A)) | modus ponens with 16, 18 |
20 | (P ® (Q ® (P Ù Q))) | add proposition hilb28 |
21 | (P ® (A ® (P Ù A))) | replace proposition variable Q by A in 20 |
22 | (B ® (A ® (B Ù A))) | replace proposition variable P by B in 21 |
23 | (B ® ((P Ú A) ® (B Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable A by (P Ú A) in 22 |
24 | ((P Ú Q) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 23 |
25 | ((P ® Q) ® ((A ® P) ® (A ® Q))) | add proposition hilb1 |
26 | ((P ® Q) ® ((B ® P) ® (B ® Q))) | replace proposition variable A by B in 25 |
27 | ((P ® C) ® ((B ® P) ® (B ® C))) | replace proposition variable Q by C in 26 |
28 | ((D ® C) ® ((B ® D) ® (B ® C))) | replace proposition variable P by D in 27 |
29 | ((D ® C) ® (((P Ú (Q Ù A)) ® D) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® C))) | replace proposition variable B by (P Ú (Q Ù A)) in 28 |
30 | ((D ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((P Ú (Q Ù A)) ® D) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 29 |
31 | (((P Ú Q) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú Q)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (P Ú Q) in 30 |
32 | (((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú Q)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 24, 31 |
33 | ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 12, 32 |
34 | ((P ® (Q ® A)) ® (Q ® (P ® A))) | add proposition hilb16 |
35 | ((P ® (Q ® B)) ® (Q ® (P ® B))) | replace proposition variable A by B in 34 |
36 | ((P ® (C ® B)) ® (C ® (P ® B))) | replace proposition variable Q by C in 35 |
37 | ((D ® (C ® B)) ® (C ® (D ® B))) | replace proposition variable P by D in 36 |
38 | ((D ® (C ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (C ® (D ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 37 |
39 | ((D ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((P Ú A) ® (D ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 38 |
40 | (((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable D by (P Ú (Q Ù A)) in 39 |
41 | ((P Ú A) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 33, 40 |
42 | ((D ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((P Ú (Q Ù A)) ® D) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 29 |
43 | (((P Ú A) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (P Ú A) in 42 |
44 | (((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 41, 43 |
45 | ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 19, 44 |
46 | ((P ® (P ® Q)) ® (P ® Q)) | add proposition hilb33 |
47 | ((P ® (P ® A)) ® (P ® A)) | replace proposition variable Q by A in 46 |
48 | ((B ® (B ® A)) ® (B ® A)) | replace proposition variable P by B in 47 |
49 | ((B ® (B ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (B ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable A by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 48 |
50 | (((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable B by (P Ú (Q Ù A)) in 49 |
51 | ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 45, 50 |
qed |
First distributive law (second direction):
2. Proposition
(((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (P Ú (Q Ù A))) (hilb37)
1 | (P ® (Q ® (P Ù Q))) | add proposition hilb28 |
2 | (P ® (A ® (P Ù A))) | replace proposition variable Q by A in 1 |
3 | (B ® (A ® (B Ù A))) | replace proposition variable P by B in 2 |
4 | (Q ® (A ® (Q Ù A))) | replace proposition variable B by Q in 3 |
5 | ((P ® Q) ® ((A Ú P) ® (A Ú Q))) | add axiom axiom4 |
6 | ((P ® Q) ® ((B Ú P) ® (B Ú Q))) | replace proposition variable A by B in 5 |
7 | ((P ® C) ® ((B Ú P) ® (B Ú C))) | replace proposition variable Q by C in 6 |
8 | ((D ® C) ® ((B Ú D) ® (B Ú C))) | replace proposition variable P by D in 7 |
9 | ((D ® C) ® ((P Ú D) ® (P Ú C))) | replace proposition variable B by P in 8 |
10 | ((D ® (Q Ù A)) ® ((P Ú D) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (Q Ù A) in 9 |
11 | ((A ® (Q Ù A)) ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable D by A in 10 |
12 | ((P ® Q) ® ((A ® P) ® (A ® Q))) | add proposition hilb1 |
13 | ((P ® Q) ® ((B ® P) ® (B ® Q))) | replace proposition variable A by B in 12 |
14 | ((P ® C) ® ((B ® P) ® (B ® C))) | replace proposition variable Q by C in 13 |
15 | ((D ® C) ® ((B ® D) ® (B ® C))) | replace proposition variable P by D in 14 |
16 | ((D ® C) ® ((Q ® D) ® (Q ® C))) | replace proposition variable B by Q in 15 |
17 | ((D ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((Q ® D) ® (Q ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A))) in 16 |
18 | (((A ® (Q Ù A)) ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((Q ® (A ® (Q Ù A))) ® (Q ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (A ® (Q Ù A)) in 17 |
19 | ((Q ® (A ® (Q Ù A))) ® (Q ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 11, 18 |
20 | (Q ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 4, 19 |
21 | ((P ® (Q ® A)) ® (Q ® (P ® A))) | add proposition hilb16 |
22 | ((P ® (Q ® B)) ® (Q ® (P ® B))) | replace proposition variable A by B in 21 |
23 | ((P ® (C ® B)) ® (C ® (P ® B))) | replace proposition variable Q by C in 22 |
24 | ((D ® (C ® B)) ® (C ® (D ® B))) | replace proposition variable P by D in 23 |
25 | ((D ® (C ® (P Ú (Q Ù A)))) ® (C ® (D ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable B by (P Ú (Q Ù A)) in 24 |
26 | ((D ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® (D ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 25 |
27 | ((Q ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® (Q ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable D by Q in 26 |
28 | ((P Ú A) ® (Q ® (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 20, 27 |
29 | ((D ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú D) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú (Q Ù A)) in 9 |
30 | ((Q ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable D by Q in 29 |
31 | ((D ® C) ® (((P Ú A) ® D) ® ((P Ú A) ® C))) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 15 |
32 | ((D ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® D) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) in 31 |
33 | (((Q ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® (Q ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable D by (Q ® (P Ú (Q Ù A))) in 32 |
34 | (((P Ú A) ® (Q ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))))) | modus ponens with 30, 33 |
35 | ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 28, 34 |
36 | ((P Ú (Q Ú A)) ® ((P Ú Q) Ú A)) | add proposition hilb14 |
37 | ((P Ú (Q Ú B)) ® ((P Ú Q) Ú B)) | replace proposition variable A by B in 36 |
38 | ((P Ú (C Ú B)) ® ((P Ú C) Ú B)) | replace proposition variable Q by C in 37 |
39 | ((D Ú (C Ú B)) ® ((D Ú C) Ú B)) | replace proposition variable P by D in 38 |
40 | ((D Ú (C Ú (Q Ù A))) ® ((D Ú C) Ú (Q Ù A))) | replace proposition variable B by (Q Ù A) in 39 |
41 | ((D Ú (P Ú (Q Ù A))) ® ((D Ú P) Ú (Q Ù A))) | replace proposition variable C by P in 40 |
42 | ((P Ú (P Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) | replace proposition variable D by P in 41 |
43 | ((P ® Q) ® (ØP Ú Q)) | add proposition defimpl1 |
44 | ((ØP Ú Q) ® (P ® Q)) | add proposition defimpl2 |
45 | ((D ® C) ® ((Ø(P Ú Q) Ú D) ® (Ø(P Ú Q) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú Q) in 8 |
46 | ((D ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((Ø(P Ú Q) Ú D) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by ((P Ú P) Ú (Q Ù A)) in 45 |
47 | (((P Ú (P Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable D by (P Ú (P Ú (Q Ù A))) in 46 |
48 | ((Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 42, 47 |
49 | ((P ® B) ® (ØP Ú B)) | replace proposition variable Q by B in 43 |
50 | ((C ® B) ® (ØC Ú B)) | replace proposition variable P by C in 49 |
51 | ((C ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (ØC Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable B by (P Ú (P Ú (Q Ù A))) in 50 |
52 | (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 51 |
53 | ((D ® C) ® ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® D) ® (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) in 15 |
54 | ((D ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® D) ® (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 53 |
55 | (((Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) in 54 |
56 | ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 48, 55 |
57 | (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 52, 56 |
58 | ((ØP Ú B) ® (P ® B)) | replace proposition variable Q by B in 44 |
59 | ((ØC Ú B) ® (C ® B)) | replace proposition variable P by C in 58 |
60 | ((ØC Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (C ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable B by ((P Ú P) Ú (Q Ù A)) in 59 |
61 | ((Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 60 |
62 | ((D ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® D) ® (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 53 |
63 | (((Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 62 |
64 | ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 61, 63 |
65 | (((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 57, 64 |
66 | ((D ® C) ® ((Ø(P Ú A) Ú D) ® (Ø(P Ú A) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú A) in 8 |
67 | ((D ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((Ø(P Ú A) Ú D) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 66 |
68 | ((((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) in 67 |
69 | ((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 65, 68 |
70 | ((C ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (ØC Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))) in 50 |
71 | (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 70 |
72 | ((D ® C) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® D) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) in 15 |
73 | ((D ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® D) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) in 72 |
74 | (((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) in 73 |
75 | ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A)))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | modus ponens with 69, 74 |
76 | (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 71, 75 |
77 | ((ØC Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (C ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 59 |
78 | ((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 77 |
79 | ((D ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® D) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable C by ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) in 72 |
80 | (((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) in 79 |
81 | ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))))) | modus ponens with 78, 80 |
82 | (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (P Ú (Q Ù A))))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 76, 81 |
83 | ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 35, 82 |
84 | ((P Ú P) ® P) | add proposition hilb11 |
85 | ((D ® C) ® (((Q Ù A) Ú D) ® ((Q Ù A) Ú C))) | replace proposition variable B by (Q Ù A) in 8 |
86 | ((D ® P) ® (((Q Ù A) Ú D) ® ((Q Ù A) Ú P))) | replace proposition variable C by P in 85 |
87 | (((P Ú P) ® P) ® (((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® ((Q Ù A) Ú P))) | replace proposition variable D by (P Ú P) in 86 |
88 | (((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® ((Q Ù A) Ú P)) | modus ponens with 84, 87 |
89 | ((P Ú Q) ® (Q Ú P)) | add axiom axiom3 |
90 | ((P Ú B) ® (B Ú P)) | replace proposition variable Q by B in 89 |
91 | ((C Ú B) ® (B Ú C)) | replace proposition variable P by C in 90 |
92 | ((C Ú P) ® (P Ú C)) | replace proposition variable B by P in 91 |
93 | (((Q Ù A) Ú P) ® (P Ú (Q Ù A))) | replace proposition variable C by (Q Ù A) in 92 |
94 | ((D ® C) ® ((((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® D) ® (((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® C))) | replace proposition variable B by ((Q Ù A) Ú (P Ú P)) in 15 |
95 | ((D ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® D) ® (((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú (Q Ù A)) in 94 |
96 | ((((Q Ù A) Ú P) ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® ((Q Ù A) Ú P)) ® (((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable D by ((Q Ù A) Ú P) in 95 |
97 | ((((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® ((Q Ù A) Ú P)) ® (((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 93, 96 |
98 | (((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® (P Ú (Q Ù A))) | modus ponens with 88, 97 |
99 | ((C Ú (Q Ù A)) ® ((Q Ù A) Ú C)) | replace proposition variable B by (Q Ù A) in 91 |
100 | (((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® ((Q Ù A) Ú (P Ú P))) | replace proposition variable C by (P Ú P) in 99 |
101 | ((D ® C) ® ((((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® D) ® (((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú P) Ú (Q Ù A)) in 15 |
102 | ((D ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® D) ® (((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú (Q Ù A)) in 101 |
103 | ((((Q Ù A) Ú (P Ú P)) ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® ((Q Ù A) Ú (P Ú P))) ® (((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable D by ((Q Ù A) Ú (P Ú P)) in 102 |
104 | ((((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® ((Q Ù A) Ú (P Ú P))) ® (((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 98, 103 |
105 | (((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A))) | modus ponens with 100, 104 |
106 | ((D ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((Ø(P Ú Q) Ú D) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú (Q Ù A)) in 45 |
107 | ((((P Ú P) Ú (Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A))) ® ((Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable D by ((P Ú P) Ú (Q Ù A)) in 106 |
108 | ((Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 105, 107 |
109 | ((C ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (ØC Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable B by ((P Ú P) Ú (Q Ù A)) in 50 |
110 | (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 109 |
111 | ((D ® C) ® ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® D) ® (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 15 |
112 | ((D ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® D) ® (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A))) in 111 |
113 | (((Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 112 |
114 | ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 108, 113 |
115 | (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 110, 114 |
116 | ((ØC Ú (P Ú (Q Ù A))) ® (C ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable B by (P Ú (Q Ù A)) in 59 |
117 | ((Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 116 |
118 | ((D ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® D) ® (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))) in 111 |
119 | (((Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A))) in 118 |
120 | ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú Q) Ú (P Ú (Q Ù A)))) ® (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 117, 119 |
121 | (((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 115, 120 |
122 | ((D ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((Ø(P Ú A) Ú D) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))) in 66 |
123 | ((((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 122 |
124 | ((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 121, 123 |
125 | ((C ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (ØC Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))) in 50 |
126 | (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 125 |
127 | ((D ® C) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® D) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) in 15 |
128 | ((D ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® D) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) in 127 |
129 | (((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) in 128 |
130 | ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | modus ponens with 124, 129 |
131 | (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 126, 130 |
132 | ((ØC Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® (C ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))) in 59 |
133 | ((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 132 |
134 | ((D ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® D) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable C by ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) in 127 |
135 | (((Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) ® ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) in 134 |
136 | ((((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® (Ø(P Ú A) Ú ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) ® (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))))) | modus ponens with 133, 135 |
137 | (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú P) Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A))))) | modus ponens with 131, 136 |
138 | ((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 83, 137 |
139 | ((D ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú Q) ® (D ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 25 |
140 | (((P Ú A) ® ((P Ú Q) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((P Ú Q) ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A))))) | replace proposition variable D by (P Ú A) in 139 |
141 | ((P Ú Q) ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) | modus ponens with 138, 140 |
142 | ((P ® (Q ® A)) ® ((P Ù Q) ® A)) | add proposition hilb29 |
143 | ((P ® (Q ® B)) ® ((P Ù Q) ® B)) | replace proposition variable A by B in 142 |
144 | ((P ® (C ® B)) ® ((P Ù C) ® B)) | replace proposition variable Q by C in 143 |
145 | ((D ® (C ® B)) ® ((D Ù C) ® B)) | replace proposition variable P by D in 144 |
146 | ((D ® (C ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((D Ù C) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable B by (P Ú (Q Ù A)) in 145 |
147 | ((D ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® ((D Ù (P Ú A)) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 146 |
148 | (((P Ú Q) ® ((P Ú A) ® (P Ú (Q Ù A)))) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable D by (P Ú Q) in 147 |
149 | (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (P Ú (Q Ù A))) | modus ponens with 141, 148 |
qed |
A form for the abbreviation rule form for disjunction (first direction):
3. Proposition
((P Ú Q) ® Ø(ØP Ù ØQ)) (hilb38)
1 | (P ® ØØP) | add proposition hilb5 |
2 | (A ® ØØA) | replace proposition variable P by A in 1 |
3 | ((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 2 |
4 | ((P ® Q) ® (ØP Ú Q)) | add proposition defimpl1 |
5 | ((ØP Ú Q) ® (P ® Q)) | add proposition defimpl2 |
6 | ((P ® A) ® (ØP Ú A)) | replace proposition variable Q by A in 4 |
7 | ((B ® A) ® (ØB Ú A)) | replace proposition variable P by B in 6 |
8 | ((P ® Q) ® ((A ® P) ® (A ® Q))) | add proposition hilb1 |
9 | ((P ® Q) ® ((B ® P) ® (B ® Q))) | replace proposition variable A by B in 8 |
10 | ((P ® C) ® ((B ® P) ® (B ® C))) | replace proposition variable Q by C in 9 |
11 | ((D ® C) ® ((B ® D) ® (B ® C))) | replace proposition variable P by D in 10 |
12 | ((ØP Ú A) ® (P ® A)) | replace proposition variable Q by A in 5 |
13 | ((ØB Ú A) ® (B ® A)) | replace proposition variable P by B in 12 |
14 | (Q ® ØØQ) | replace proposition variable P by Q in 1 |
15 | ((P ® Q) ® ((A Ú P) ® (A Ú Q))) | add axiom axiom4 |
16 | ((P ® Q) ® ((B Ú P) ® (B Ú Q))) | replace proposition variable A by B in 15 |
17 | ((P ® C) ® ((B Ú P) ® (B Ú C))) | replace proposition variable Q by C in 16 |
18 | ((D ® C) ® ((B Ú D) ® (B Ú C))) | replace proposition variable P by D in 17 |
19 | ((D ® C) ® ((Q Ú D) ® (Q Ú C))) | replace proposition variable B by Q in 18 |
20 | ((D ® ØØP) ® ((Q Ú D) ® (Q Ú ØØP))) | replace proposition variable C by ØØP in 19 |
21 | ((P ® ØØP) ® ((Q Ú P) ® (Q Ú ØØP))) | replace proposition variable D by P in 20 |
22 | ((Q Ú P) ® (Q Ú ØØP)) | modus ponens with 1, 21 |
23 | ((P Ú Q) ® (Q Ú P)) | add axiom axiom3 |
24 | ((P Ú A) ® (A Ú P)) | replace proposition variable Q by A in 23 |
25 | ((B Ú A) ® (A Ú B)) | replace proposition variable P by B in 24 |
26 | ((B Ú ØØP) ® (ØØP Ú B)) | replace proposition variable A by ØØP in 25 |
27 | ((Q Ú ØØP) ® (ØØP Ú Q)) | replace proposition variable B by Q in 26 |
28 | ((D ® C) ® (((Q Ú P) ® D) ® ((Q Ú P) ® C))) | replace proposition variable B by (Q Ú P) in 11 |
29 | ((D ® (ØØP Ú Q)) ® (((Q Ú P) ® D) ® ((Q Ú P) ® (ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable C by (ØØP Ú Q) in 28 |
30 | (((Q Ú ØØP) ® (ØØP Ú Q)) ® (((Q Ú P) ® (Q Ú ØØP)) ® ((Q Ú P) ® (ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable D by (Q Ú ØØP) in 29 |
31 | (((Q Ú P) ® (Q Ú ØØP)) ® ((Q Ú P) ® (ØØP Ú Q))) | modus ponens with 27, 30 |
32 | ((Q Ú P) ® (ØØP Ú Q)) | modus ponens with 22, 31 |
33 | ((D ® C) ® (((P Ú Q) ® D) ® ((P Ú Q) ® C))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 11 |
34 | ((D ® (ØØP Ú Q)) ® (((P Ú Q) ® D) ® ((P Ú Q) ® (ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable C by (ØØP Ú Q) in 33 |
35 | (((Q Ú P) ® (ØØP Ú Q)) ® (((P Ú Q) ® (Q Ú P)) ® ((P Ú Q) ® (ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable D by (Q Ú P) in 34 |
36 | (((P Ú Q) ® (Q Ú P)) ® ((P Ú Q) ® (ØØP Ú Q))) | modus ponens with 32, 35 |
37 | ((P Ú Q) ® (ØØP Ú Q)) | modus ponens with 23, 36 |
38 | ((P ® Q) ® (ØQ ® ØP)) | add proposition hilb7 |
39 | ((P ® A) ® (ØA ® ØP)) | replace proposition variable Q by A in 38 |
40 | ((B ® A) ® (ØA ® ØB)) | replace proposition variable P by B in 39 |
41 | ((B ® (ØØP Ú Q)) ® (Ø(ØØP Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by (ØØP Ú Q) in 40 |
42 | (((P Ú Q) ® (ØØP Ú Q)) ® (Ø(ØØP Ú Q) ® Ø(P Ú Q))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 41 |
43 | (Ø(ØØP Ú Q) ® Ø(P Ú Q)) | modus ponens with 37, 42 |
44 | ((B ® Ø(P Ú Q)) ® (ØØ(P Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by Ø(P Ú Q) in 40 |
45 | ((Ø(ØØP Ú Q) ® Ø(P Ú Q)) ® (ØØ(P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by Ø(ØØP Ú Q) in 44 |
46 | (ØØ(P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) | modus ponens with 43, 45 |
47 | ((D ® C) ® ((Ø(P Ú Q) Ú D) ® (Ø(P Ú Q) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú Q) in 18 |
48 | ((D ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((Ø(P Ú Q) Ú D) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable C by ØØ(ØØP Ú Q) in 47 |
49 | ((ØØ(P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable D by ØØ(P Ú Q) in 48 |
50 | ((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) | modus ponens with 46, 49 |
51 | ((B ® ØØ(P Ú Q)) ® (ØB Ú ØØ(P Ú Q))) | replace proposition variable A by ØØ(P Ú Q) in 7 |
52 | (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(P Ú Q))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 51 |
53 | ((D ® C) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) in 11 |
54 | ((D ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) in 53 |
55 | (((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(P Ú Q))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(P Ú Q)) in 54 |
56 | ((((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(P Ú Q))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)))) | modus ponens with 50, 55 |
57 | (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) | modus ponens with 52, 56 |
58 | ((ØB Ú ØØ(ØØP Ú Q)) ® (B ® ØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable A by ØØ(ØØP Ú Q) in 13 |
59 | ((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 58 |
60 | ((D ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) in 53 |
61 | (((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) in 60 |
62 | ((((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)))) | modus ponens with 59, 61 |
63 | (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q))) | modus ponens with 57, 62 |
64 | ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) | modus ponens with 3, 63 |
65 | ((D ® C) ® ((ØØP Ú D) ® (ØØP Ú C))) | replace proposition variable B by ØØP in 18 |
66 | ((D ® ØØQ) ® ((ØØP Ú D) ® (ØØP Ú ØØQ))) | replace proposition variable C by ØØQ in 65 |
67 | ((Q ® ØØQ) ® ((ØØP Ú Q) ® (ØØP Ú ØØQ))) | replace proposition variable D by Q in 66 |
68 | ((ØØP Ú Q) ® (ØØP Ú ØØQ)) | modus ponens with 14, 67 |
69 | ((B ® (ØØP Ú ØØQ)) ® (Ø(ØØP Ú ØØQ) ® ØB)) | replace proposition variable A by (ØØP Ú ØØQ) in 40 |
70 | (((ØØP Ú Q) ® (ØØP Ú ØØQ)) ® (Ø(ØØP Ú ØØQ) ® Ø(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by (ØØP Ú Q) in 69 |
71 | (Ø(ØØP Ú ØØQ) ® Ø(ØØP Ú Q)) | modus ponens with 68, 70 |
72 | ((B ® Ø(ØØP Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by Ø(ØØP Ú Q) in 40 |
73 | ((Ø(ØØP Ú ØØQ) ® Ø(ØØP Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))) | replace proposition variable B by Ø(ØØP Ú ØØQ) in 72 |
74 | (ØØ(ØØP Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ)) | modus ponens with 71, 73 |
75 | ((D ® ØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® ((Ø(P Ú Q) Ú D) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)))) | replace proposition variable C by ØØ(ØØP Ú ØØQ) in 47 |
76 | ((ØØ(ØØP Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® ((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)))) | replace proposition variable D by ØØ(ØØP Ú Q) in 75 |
77 | ((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))) | modus ponens with 74, 76 |
78 | ((B ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØB Ú ØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable A by ØØ(ØØP Ú Q) in 7 |
79 | (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 78 |
80 | ((D ® C) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) in 11 |
81 | ((D ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)) in 80 |
82 | (((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q)) in 81 |
83 | ((((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú Q))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)))) | modus ponens with 77, 82 |
84 | (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))) | modus ponens with 79, 83 |
85 | ((ØB Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® (B ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))) | replace proposition variable A by ØØ(ØØP Ú ØØQ) in 13 |
86 | ((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 85 |
87 | ((D ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ)) in 80 |
88 | (((Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® ((((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ)) in 87 |
89 | ((((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú ØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ)))) | modus ponens with 86, 88 |
90 | (((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ))) | modus ponens with 84, 89 |
91 | ((P Ú Q) ® ØØ(ØØP Ú ØØQ)) | modus ponens with 64, 90 |
92 | ((P Ú Q) ® Ø(ØP Ù ØQ)) | reverse abbreviation and in 91 at occurence 1 |
qed |
A form for the abbreviation rule form for disjunction (second direction):
4. Proposition
(Ø(ØP Ù ØQ) ® (P Ú Q)) (hilb39)
1 | (ØØP ® P) | add proposition hilb6 |
2 | (ØØA ® A) | replace proposition variable P by A in 1 |
3 | (ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 2 |
4 | ((P ® Q) ® (ØP Ú Q)) | add proposition defimpl1 |
5 | ((ØP Ú Q) ® (P ® Q)) | add proposition defimpl2 |
6 | ((P Ú Q) ® (Q Ú P)) | add axiom axiom3 |
7 | ((P Ú A) ® (A Ú P)) | replace proposition variable Q by A in 6 |
8 | ((B Ú A) ® (A Ú B)) | replace proposition variable P by B in 7 |
9 | ((P ® Q) ® ((A ® P) ® (A ® Q))) | add proposition hilb1 |
10 | ((P ® Q) ® ((B ® P) ® (B ® Q))) | replace proposition variable A by B in 9 |
11 | ((P ® C) ® ((B ® P) ® (B ® C))) | replace proposition variable Q by C in 10 |
12 | ((D ® C) ® ((B ® D) ® (B ® C))) | replace proposition variable P by D in 11 |
13 | ((B Ú (P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú B)) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 8 |
14 | ((P ® A) ® (ØP Ú A)) | replace proposition variable Q by A in 4 |
15 | ((B ® A) ® (ØB Ú A)) | replace proposition variable P by B in 14 |
16 | ((B ® (P Ú Q)) ® (ØB Ú (P Ú Q))) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 15 |
17 | ((ØP Ú A) ® (P ® A)) | replace proposition variable Q by A in 5 |
18 | ((ØB Ú A) ® (B ® A)) | replace proposition variable P by B in 17 |
19 | ((ØB Ú (P Ú Q)) ® (B ® (P Ú Q))) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 18 |
20 | (ØØQ ® Q) | replace proposition variable P by Q in 1 |
21 | ((P ® Q) ® ((A Ú P) ® (A Ú Q))) | add axiom axiom4 |
22 | ((P ® Q) ® ((B Ú P) ® (B Ú Q))) | replace proposition variable A by B in 21 |
23 | ((P ® C) ® ((B Ú P) ® (B Ú C))) | replace proposition variable Q by C in 22 |
24 | ((D ® C) ® ((B Ú D) ® (B Ú C))) | replace proposition variable P by D in 23 |
25 | ((D ® C) ® ((Q Ú D) ® (Q Ú C))) | replace proposition variable B by Q in 24 |
26 | ((D ® P) ® ((Q Ú D) ® (Q Ú P))) | replace proposition variable C by P in 25 |
27 | ((ØØP ® P) ® ((Q Ú ØØP) ® (Q Ú P))) | replace proposition variable D by ØØP in 26 |
28 | ((Q Ú ØØP) ® (Q Ú P)) | modus ponens with 1, 27 |
29 | ((B Ú P) ® (P Ú B)) | replace proposition variable A by P in 8 |
30 | ((Q Ú P) ® (P Ú Q)) | replace proposition variable B by Q in 29 |
31 | ((D ® C) ® (((Q Ú ØØP) ® D) ® ((Q Ú ØØP) ® C))) | replace proposition variable B by (Q Ú ØØP) in 12 |
32 | ((D ® (P Ú Q)) ® (((Q Ú ØØP) ® D) ® ((Q Ú ØØP) ® (P Ú Q)))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 31 |
33 | (((Q Ú P) ® (P Ú Q)) ® (((Q Ú ØØP) ® (Q Ú P)) ® ((Q Ú ØØP) ® (P Ú Q)))) | replace proposition variable D by (Q Ú P) in 32 |
34 | (((Q Ú ØØP) ® (Q Ú P)) ® ((Q Ú ØØP) ® (P Ú Q))) | modus ponens with 30, 33 |
35 | ((Q Ú ØØP) ® (P Ú Q)) | modus ponens with 28, 34 |
36 | ((B Ú Q) ® (Q Ú B)) | replace proposition variable A by Q in 8 |
37 | ((ØØP Ú Q) ® (Q Ú ØØP)) | replace proposition variable B by ØØP in 36 |
38 | ((D ® C) ® (((ØØP Ú Q) ® D) ® ((ØØP Ú Q) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØP Ú Q) in 12 |
39 | ((D ® (P Ú Q)) ® (((ØØP Ú Q) ® D) ® ((ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 38 |
40 | (((Q Ú ØØP) ® (P Ú Q)) ® (((ØØP Ú Q) ® (Q Ú ØØP)) ® ((ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)))) | replace proposition variable D by (Q Ú ØØP) in 39 |
41 | (((ØØP Ú Q) ® (Q Ú ØØP)) ® ((ØØP Ú Q) ® (P Ú Q))) | modus ponens with 35, 40 |
42 | ((ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) | modus ponens with 37, 41 |
43 | ((P ® Q) ® (ØQ ® ØP)) | add proposition hilb7 |
44 | ((P ® A) ® (ØA ® ØP)) | replace proposition variable Q by A in 43 |
45 | ((B ® A) ® (ØA ® ØB)) | replace proposition variable P by B in 44 |
46 | ((B ® (P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 45 |
47 | (((ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) ® Ø(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by (ØØP Ú Q) in 46 |
48 | (Ø(P Ú Q) ® Ø(ØØP Ú Q)) | modus ponens with 42, 47 |
49 | ((B ® Ø(ØØP Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by Ø(ØØP Ú Q) in 45 |
50 | ((Ø(P Ú Q) ® Ø(ØØP Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® ØØ(P Ú Q))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú Q) in 49 |
51 | (ØØ(ØØP Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) | modus ponens with 48, 50 |
52 | ((B ® ØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by ØØ(P Ú Q) in 45 |
53 | ((ØØ(ØØP Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) ® ØØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØ(ØØP Ú Q) in 52 |
54 | (ØØØ(P Ú Q) ® ØØØ(ØØP Ú Q)) | modus ponens with 51, 53 |
55 | ((D ® C) ® (((P Ú Q) Ú D) ® ((P Ú Q) Ú C))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 24 |
56 | ((D ® ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (((P Ú Q) Ú D) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable C by ØØØ(ØØP Ú Q) in 55 |
57 | ((ØØØ(P Ú Q) ® ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)))) | replace proposition variable D by ØØØ(P Ú Q) in 56 |
58 | (((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q))) | modus ponens with 54, 57 |
59 | ((B Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú B)) | replace proposition variable A by ØØØ(ØØP Ú Q) in 8 |
60 | (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 59 |
61 | ((D ® C) ® ((((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) in 12 |
62 | ((D ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 61 |
63 | ((((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q))) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) in 62 |
64 | ((((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q))) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)))) | modus ponens with 60, 63 |
65 | (((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) | modus ponens with 58, 64 |
66 | ((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØØ(P Ú Q) in 13 |
67 | ((D ® C) ® (((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 12 |
68 | ((D ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 67 |
69 | ((((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q))) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by ((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q)) in 68 |
70 | (((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú Q))) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)))) | modus ponens with 65, 69 |
71 | ((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) | modus ponens with 66, 70 |
72 | ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØ(P Ú Q) in 16 |
73 | ((D ® C) ® (((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) in 12 |
74 | ((D ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 73 |
75 | (((ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by (ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 74 |
76 | (((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)))) | modus ponens with 71, 75 |
77 | ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) | modus ponens with 72, 76 |
78 | ((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØ(ØØP Ú Q) in 19 |
79 | ((D ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q))) ® (((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) in 73 |
80 | (((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q))) ® (((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 79 |
81 | (((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)))) | modus ponens with 78, 80 |
82 | ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q))) | modus ponens with 77, 81 |
83 | (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) | modus ponens with 3, 82 |
84 | ((D ® C) ® ((ØØP Ú D) ® (ØØP Ú C))) | replace proposition variable B by ØØP in 24 |
85 | ((D ® Q) ® ((ØØP Ú D) ® (ØØP Ú Q))) | replace proposition variable C by Q in 84 |
86 | ((ØØQ ® Q) ® ((ØØP Ú ØØQ) ® (ØØP Ú Q))) | replace proposition variable D by ØØQ in 85 |
87 | ((ØØP Ú ØØQ) ® (ØØP Ú Q)) | modus ponens with 20, 86 |
88 | ((B ® (ØØP Ú Q)) ® (Ø(ØØP Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by (ØØP Ú Q) in 45 |
89 | (((ØØP Ú ØØQ) ® (ØØP Ú Q)) ® (Ø(ØØP Ú Q) ® Ø(ØØP Ú ØØQ))) | replace proposition variable B by (ØØP Ú ØØQ) in 88 |
90 | (Ø(ØØP Ú Q) ® Ø(ØØP Ú ØØQ)) | modus ponens with 87, 89 |
91 | ((B ® Ø(ØØP Ú ØØQ)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® ØB)) | replace proposition variable A by Ø(ØØP Ú ØØQ) in 45 |
92 | ((Ø(ØØP Ú Q) ® Ø(ØØP Ú ØØQ)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® ØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by Ø(ØØP Ú Q) in 91 |
93 | (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® ØØ(ØØP Ú Q)) | modus ponens with 90, 92 |
94 | ((B ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by ØØ(ØØP Ú Q) in 45 |
95 | ((ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® ØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) ® ØØØ(ØØP Ú ØØQ))) | replace proposition variable B by ØØ(ØØP Ú ØØQ) in 94 |
96 | (ØØØ(ØØP Ú Q) ® ØØØ(ØØP Ú ØØQ)) | modus ponens with 93, 95 |
97 | ((D ® ØØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® (((P Ú Q) Ú D) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ)))) | replace proposition variable C by ØØØ(ØØP Ú ØØQ) in 55 |
98 | ((ØØØ(ØØP Ú Q) ® ØØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ)))) | replace proposition variable D by ØØØ(ØØP Ú Q) in 97 |
99 | (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ))) | modus ponens with 96, 98 |
100 | ((B Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú B)) | replace proposition variable A by ØØØ(ØØP Ú ØØQ) in 8 |
101 | (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 100 |
102 | ((D ® C) ® ((((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) in 12 |
103 | ((D ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® ((((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® D) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)) in 102 |
104 | ((((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® ((((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ)) in 103 |
105 | ((((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú ØØQ))) ® (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)))) | modus ponens with 101, 104 |
106 | (((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) | modus ponens with 99, 105 |
107 | ((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØØ(ØØP Ú Q) in 13 |
108 | ((D ® C) ® (((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 12 |
109 | ((D ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)) in 108 |
110 | ((((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q))) ® ((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q)) in 109 |
111 | (((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® ((P Ú Q) Ú ØØØ(ØØP Ú Q))) ® ((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)))) | modus ponens with 106, 110 |
112 | ((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) | modus ponens with 107, 111 |
113 | ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØ(ØØP Ú Q) in 16 |
114 | ((D ® C) ® (((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) in 12 |
115 | ((D ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)) in 114 |
116 | (((ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® (((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q)) in 115 |
117 | (((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú Q) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)))) | modus ponens with 112, 116 |
118 | ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) | modus ponens with 113, 117 |
119 | ((ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØ(ØØP Ú ØØQ) in 19 |
120 | ((D ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q))) ® (((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® D) ® ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q)) in 114 |
121 | (((ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q))) ® (((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q))))) | replace proposition variable D by (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q)) in 120 |
122 | (((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØØ(ØØP Ú ØØQ) Ú (P Ú Q))) ® ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q)))) | modus ponens with 119, 121 |
123 | ((ØØ(ØØP Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q))) | modus ponens with 118, 122 |
124 | (ØØ(ØØP Ú ØØQ) ® (P Ú Q)) | modus ponens with 83, 123 |
125 | (Ø(ØP Ù ØQ) ® (P Ú Q)) | reverse abbreviation and in 124 at occurence 1 |
qed |
By duality we get the second distributive law (first direction):
5. Proposition
((P Ù (Q Ú A)) ® ((P Ù Q) Ú (P Ù A))) (hilb40)
1 | (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (P Ú (Q Ù A))) | add proposition hilb37 |
2 | ((P ® Q) ® (ØQ ® ØP)) | add proposition hilb7 |
3 | ((P ® A) ® (ØA ® ØP)) | replace proposition variable Q by A in 2 |
4 | ((B ® A) ® (ØA ® ØB)) | replace proposition variable P by B in 3 |
5 | ((B ® (P Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú (Q Ù A)) ® ØB)) | replace proposition variable A by (P Ú (Q Ù A)) in 4 |
6 | ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (P Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 5 |
7 | (Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 1, 6 |
8 | (P ® ØØP) | add proposition hilb5 |
9 | (B ® ØØB) | replace proposition variable P by B in 8 |
10 | ((Q Ù A) ® ØØ(Q Ù A)) | replace proposition variable B by (Q Ù A) in 9 |
11 | ((P ® Q) ® ((A Ú P) ® (A Ú Q))) | add axiom axiom4 |
12 | ((P ® Q) ® ((B Ú P) ® (B Ú Q))) | replace proposition variable A by B in 11 |
13 | ((P ® C) ® ((B Ú P) ® (B Ú C))) | replace proposition variable Q by C in 12 |
14 | ((D ® C) ® ((B Ú D) ® (B Ú C))) | replace proposition variable P by D in 13 |
15 | ((D ® C) ® ((P Ú D) ® (P Ú C))) | replace proposition variable B by P in 14 |
16 | ((D ® ØØ(Q Ù A)) ® ((P Ú D) ® (P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by ØØ(Q Ù A) in 15 |
17 | (((Q Ù A) ® ØØ(Q Ù A)) ® ((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable D by (Q Ù A) in 16 |
18 | ((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú ØØ(Q Ù A))) | modus ponens with 10, 17 |
19 | ((P ® B) ® (ØB ® ØP)) | replace proposition variable Q by B in 2 |
20 | ((C ® B) ® (ØB ® ØC)) | replace proposition variable P by C in 19 |
21 | ((C ® (P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (P Ú ØØ(Q Ù A)) in 20 |
22 | (((P Ú (Q Ù A)) ® (P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (P Ú (Q Ù A)) in 21 |
23 | (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) | modus ponens with 18, 22 |
24 | ((P ® Q) ® (ØP Ú Q)) | add proposition defimpl1 |
25 | ((ØP Ú Q) ® (P ® Q)) | add proposition defimpl2 |
26 | ((C ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú (Q Ù A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by Ø(P Ú (Q Ù A)) in 20 |
27 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú (Q Ù A)) ® ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 26 |
28 | (ØØ(P Ú (Q Ù A)) ® ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))) | modus ponens with 23, 27 |
29 | ((D ® C) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú D) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 14 |
30 | ((D ® ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú D) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 29 |
31 | ((ØØ(P Ú (Q Ù A)) ® ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | replace proposition variable D by ØØ(P Ú (Q Ù A)) in 30 |
32 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 28, 31 |
33 | ((P Ú Q) ® (Q Ú P)) | add axiom axiom3 |
34 | ((P Ú B) ® (B Ú P)) | replace proposition variable Q by B in 33 |
35 | ((C Ú B) ® (B Ú C)) | replace proposition variable P by C in 34 |
36 | ((C Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú C)) | replace proposition variable B by ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 35 |
37 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 36 |
38 | ((P ® Q) ® ((A ® P) ® (A ® Q))) | add proposition hilb1 |
39 | ((P ® Q) ® ((B ® P) ® (B ® Q))) | replace proposition variable A by B in 38 |
40 | ((P ® C) ® ((B ® P) ® (B ® C))) | replace proposition variable Q by C in 39 |
41 | ((D ® C) ® ((B ® D) ® (B ® C))) | replace proposition variable P by D in 40 |
42 | ((D ® C) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) in 41 |
43 | ((D ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 42 |
44 | (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 43 |
45 | (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 37, 44 |
46 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 32, 45 |
47 | ((C Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 35 |
48 | ((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú (Q Ù A)) in 47 |
49 | ((D ® C) ® (((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 41 |
50 | ((D ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 49 |
51 | (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A)))) ® ((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A))) in 50 |
52 | (((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú ØØ(P Ú (Q Ù A)))) ® ((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 46, 51 |
53 | ((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 48, 52 |
54 | ((P ® B) ® (ØP Ú B)) | replace proposition variable Q by B in 24 |
55 | ((C ® B) ® (ØC Ú B)) | replace proposition variable P by C in 54 |
56 | ((C ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØC Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable B by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 55 |
57 | ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú (Q Ù A)) in 56 |
58 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 41 |
59 | ((D ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 58 |
60 | (((ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 59 |
61 | (((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú (Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 53, 60 |
62 | ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 57, 61 |
63 | ((ØP Ú B) ® (P ® B)) | replace proposition variable Q by B in 25 |
64 | ((ØC Ú B) ® (C ® B)) | replace proposition variable P by C in 63 |
65 | ((ØC Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (C ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable B by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 64 |
66 | ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 65 |
67 | ((D ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 58 |
68 | (((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 67 |
69 | (((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 66, 68 |
70 | ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 62, 69 |
71 | (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 7, 70 |
72 | (ØØP ® P) | add proposition hilb6 |
73 | (ØØA ® A) | replace proposition variable P by A in 72 |
74 | (ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 73 |
75 | ((P Ù Q) ® Ø(ØP Ú ØQ)) | add proposition defand1 |
76 | (Ø(ØP Ú ØQ) ® (P Ù Q)) | add proposition defand2 |
77 | ((B ® (P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 4 |
78 | ((ØØ(P Ú Q) ® (P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) ® ØØØ(P Ú Q))) | replace proposition variable B by ØØ(P Ú Q) in 77 |
79 | (Ø(P Ú Q) ® ØØØ(P Ú Q)) | modus ponens with 74, 78 |
80 | ((D ® C) ® ((Ø(P Ú A) Ú D) ® (Ø(P Ú A) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú A) in 14 |
81 | ((D ® ØØØ(P Ú Q)) ® ((Ø(P Ú A) Ú D) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)))) | replace proposition variable C by ØØØ(P Ú Q) in 80 |
82 | ((Ø(P Ú Q) ® ØØØ(P Ú Q)) ® ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)))) | replace proposition variable D by Ø(P Ú Q) in 81 |
83 | ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q))) | modus ponens with 79, 82 |
84 | ((C Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú C)) | replace proposition variable B by ØØØ(P Ú Q) in 35 |
85 | ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú A) in 84 |
86 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® D) ® ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) in 41 |
87 | ((D ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® D) ® ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 86 |
88 | (((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q))) ® ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) in 87 |
89 | (((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q))) ® ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | modus ponens with 85, 88 |
90 | ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 83, 89 |
91 | ((C Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø(P Ú A) in 35 |
92 | ((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú Q) in 91 |
93 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® D) ® ((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 41 |
94 | ((D ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® D) ® ((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable C by (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 93 |
95 | (((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q))) ® ((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) in 94 |
96 | (((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q))) ® ((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | modus ponens with 90, 95 |
97 | ((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 92, 96 |
98 | ((C ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 20 |
99 | (((Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 98 |
100 | (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 97, 99 |
101 | ((P Ù B) ® Ø(ØP Ú ØB)) | replace proposition variable Q by B in 75 |
102 | ((C Ù B) ® Ø(ØC Ú ØB)) | replace proposition variable P by C in 101 |
103 | ((C Ù (P Ú A)) ® Ø(ØC Ú Ø(P Ú A))) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 102 |
104 | ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú Q) in 103 |
105 | ((D ® C) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 41 |
106 | ((D ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 105 |
107 | ((Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 106 |
108 | (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | modus ponens with 100, 107 |
109 | ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 104, 108 |
110 | (Ø(ØP Ú ØB) ® (P Ù B)) | replace proposition variable Q by B in 76 |
111 | (Ø(ØC Ú ØB) ® (C Ù B)) | replace proposition variable P by C in 110 |
112 | (Ø(ØC Ú Ø(P Ú A)) ® (C Ù (P Ú A))) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 111 |
113 | (Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 112 |
114 | ((D ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 105 |
115 | ((Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 114 |
116 | (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 113, 115 |
117 | ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 109, 116 |
118 | ((C ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 20 |
119 | (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 118 |
120 | (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 117, 119 |
121 | ((D ® C) ® ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú D) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú C))) | replace proposition variable B by ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 14 |
122 | ((D ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú D) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 121 |
123 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 122 |
124 | ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 120, 123 |
125 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 56 |
126 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 41 |
127 | ((D ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 126 |
128 | (((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 127 |
129 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 124, 128 |
130 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 125, 129 |
131 | ((ØC Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (C ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 64 |
132 | ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 131 |
133 | ((D ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 126 |
134 | (((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 133 |
135 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | modus ponens with 132, 134 |
136 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 130, 135 |
137 | (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 71, 136 |
138 | (ØØB ® B) | replace proposition variable P by B in 72 |
139 | (ØØ(P Ú A) ® (P Ú A)) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 138 |
140 | ((C ® (P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) ® ØC)) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 20 |
141 | ((ØØ(P Ú A) ® (P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) ® ØØØ(P Ú A))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú A) in 140 |
142 | (Ø(P Ú A) ® ØØØ(P Ú A)) | modus ponens with 139, 141 |
143 | ((D ® C) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú D) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú C))) | replace proposition variable B by ØØØ(P Ú Q) in 14 |
144 | ((D ® ØØØ(P Ú A)) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú D) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)))) | replace proposition variable C by ØØØ(P Ú A) in 143 |
145 | ((Ø(P Ú A) ® ØØØ(P Ú A)) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)))) | replace proposition variable D by Ø(P Ú A) in 144 |
146 | ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) | modus ponens with 142, 145 |
147 | ((C ® (ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) in 20 |
148 | (((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | replace proposition variable C by (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 147 |
149 | (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 146, 148 |
150 | ((C Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØC Ú ØØØ(P Ú A))) | replace proposition variable B by ØØ(P Ú A) in 102 |
151 | ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú Q) in 150 |
152 | ((D ® C) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 41 |
153 | ((D ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 152 |
154 | ((Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) in 153 |
155 | (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | modus ponens with 149, 154 |
156 | ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 151, 155 |
157 | (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú Q) in 112 |
158 | ((D ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 152 |
159 | ((Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 158 |
160 | (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 157, 159 |
161 | ((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 156, 160 |
162 | ((C ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 20 |
163 | (((ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 162 |
164 | (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) | modus ponens with 161, 163 |
165 | ((D ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú D) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 121 |
166 | ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 165 |
167 | ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | modus ponens with 164, 166 |
168 | ((C ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØC Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 55 |
169 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 168 |
170 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 41 |
171 | ((D ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) in 170 |
172 | (((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 171 |
173 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | modus ponens with 167, 172 |
174 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | modus ponens with 169, 173 |
175 | ((ØC Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (C ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 64 |
176 | ((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 175 |
177 | ((D ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) in 170 |
178 | (((ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) in 177 |
179 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | modus ponens with 176, 178 |
180 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | modus ponens with 174, 179 |
181 | (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) | modus ponens with 137, 180 |
182 | (Ø(P Ú ØØ(Q Ù B)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú B))) | replace proposition variable A by B in 181 |
183 | (Ø(P Ú ØØ(C Ù B)) ® Ø(ØØ(P Ú C) Ù ØØ(P Ú B))) | replace proposition variable Q by C in 182 |
184 | (Ø(D Ú ØØ(C Ù B)) ® Ø(ØØ(D Ú C) Ù ØØ(D Ú B))) | replace proposition variable P by D in 183 |
185 | (Ø(D Ú ØØ(C Ù ØA)) ® Ø(ØØ(D Ú C) Ù ØØ(D Ú ØA))) | replace proposition variable B by ØA in 184 |
186 | (Ø(D Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(D Ú ØQ) Ù ØØ(D Ú ØA))) | replace proposition variable C by ØQ in 185 |
187 | (Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) | replace proposition variable D by ØP in 186 |
188 | ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) | reverse abbreviation and in 187 at occurence 1 |
189 | ((P Ú Q) ® Ø(ØP Ù ØQ)) | add proposition hilb38 |
190 | ((P Ú B) ® Ø(ØP Ù ØB)) | replace proposition variable Q by B in 189 |
191 | ((C Ú B) ® Ø(ØC Ù ØB)) | replace proposition variable P by C in 190 |
192 | ((C Ú A) ® Ø(ØC Ù ØA)) | replace proposition variable B by A in 191 |
193 | ((Q Ú A) ® Ø(ØQ Ù ØA)) | replace proposition variable C by Q in 192 |
194 | ((C ® Ø(ØQ Ù ØA)) ® (ØØ(ØQ Ù ØA) ® ØC)) | replace proposition variable B by Ø(ØQ Ù ØA) in 20 |
195 | (((Q Ú A) ® Ø(ØQ Ù ØA)) ® (ØØ(ØQ Ù ØA) ® Ø(Q Ú A))) | replace proposition variable C by (Q Ú A) in 194 |
196 | (ØØ(ØQ Ù ØA) ® Ø(Q Ú A)) | modus ponens with 193, 195 |
197 | ((D ® C) ® ((ØP Ú D) ® (ØP Ú C))) | replace proposition variable B by ØP in 14 |
198 | ((D ® Ø(Q Ú A)) ® ((ØP Ú D) ® (ØP Ú Ø(Q Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(Q Ú A) in 197 |
199 | ((ØØ(ØQ Ù ØA) ® Ø(Q Ú A)) ® ((ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® (ØP Ú Ø(Q Ú A)))) | replace proposition variable D by ØØ(ØQ Ù ØA) in 198 |
200 | ((ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® (ØP Ú Ø(Q Ú A))) | modus ponens with 196, 199 |
201 | ((C ® (ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® (Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØP Ú Ø(Q Ú A)) in 20 |
202 | (((ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® (ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® (Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable C by (ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) in 201 |
203 | (Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | modus ponens with 200, 202 |
204 | ((C Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØC Ú Ø(Q Ú A))) | replace proposition variable B by (Q Ú A) in 102 |
205 | ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) | replace proposition variable C by P in 204 |
206 | ((D ® C) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® D) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® C))) | replace proposition variable B by (P Ù (Q Ú A)) in 41 |
207 | ((D ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® D) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))))) | replace proposition variable C by Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) in 206 |
208 | ((Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))))) | replace proposition variable D by Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) in 207 |
209 | (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)))) | modus ponens with 203, 208 |
210 | ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | modus ponens with 205, 209 |
211 | (Ø(ØC Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® (C Ù Ø(ØQ Ù ØA))) | replace proposition variable B by Ø(ØQ Ù ØA) in 111 |
212 | (Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) | replace proposition variable C by P in 211 |
213 | ((D ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® D) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))))) | replace proposition variable C by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 206 |
214 | ((Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))))) | replace proposition variable D by Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) in 213 |
215 | (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | modus ponens with 212, 214 |
216 | ((P Ù (Q Ú A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) | modus ponens with 210, 215 |
217 | ((C ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 20 |
218 | (((P Ù (Q Ú A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(P Ù (Q Ú A)))) | replace proposition variable C by (P Ù (Q Ú A)) in 217 |
219 | (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(P Ù (Q Ú A))) | modus ponens with 216, 218 |
220 | ((D ® C) ® ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú D) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) in 14 |
221 | ((D ® Ø(P Ù (Q Ú A))) ® ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú D) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(P Ù (Q Ú A)) in 220 |
222 | ((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(P Ù (Q Ú A))) ® ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 221 |
223 | ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A)))) | modus ponens with 219, 222 |
224 | ((C Ú Ø(P Ù (Q Ú A))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø(P Ù (Q Ú A)) in 35 |
225 | ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) in 224 |
226 | ((D ® C) ® (((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 41 |
227 | ((D ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 226 |
228 | (((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A)))) ® ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable D by (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A))) in 227 |
229 | (((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù (Q Ú A)))) ® ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))))) | modus ponens with 225, 228 |
230 | ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | modus ponens with 223, 229 |
231 | ((C Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) in 35 |
232 | ((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 231 |
233 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® ((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 41 |
234 | ((D ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® ((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 233 |
235 | (((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable D by (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 234 |
236 | (((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) Ú Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))))) | modus ponens with 230, 235 |
237 | ((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | modus ponens with 232, 236 |
238 | ((C ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (ØC Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) in 55 |
239 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable C by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 238 |
240 | ((D ® C) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 41 |
241 | ((D ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 240 |
242 | (((Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 241 |
243 | ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))))) | modus ponens with 237, 242 |
244 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | modus ponens with 239, 243 |
245 | ((ØC Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (C ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) in 64 |
246 | ((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable C by (P Ù (Q Ú A)) in 245 |
247 | ((D ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable C by ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 240 |
248 | (((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 247 |
249 | ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))))) | modus ponens with 246, 248 |
250 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | modus ponens with 244, 249 |
251 | ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) | modus ponens with 188, 250 |
252 | (Ø(ØP Ù ØQ) ® (P Ú Q)) | add proposition hilb39 |
253 | (Ø(ØP Ù ØB) ® (P Ú B)) | replace proposition variable Q by B in 252 |
254 | (Ø(ØC Ù ØB) ® (C Ú B)) | replace proposition variable P by C in 253 |
255 | (Ø(ØC Ù ØØ(ØP Ú ØA)) ® (C Ú Ø(ØP Ú ØA))) | replace proposition variable B by Ø(ØP Ú ØA) in 254 |
256 | (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) | replace proposition variable C by Ø(ØP Ú ØQ) in 255 |
257 | ((D ® C) ® ((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú D) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(P Ù (Q Ú A)) in 14 |
258 | ((D ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) ® ((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú D) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))))) | replace proposition variable C by (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)) in 257 |
259 | ((Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) ® ((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) in 258 |
260 | ((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) | modus ponens with 256, 259 |
261 | (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable C by (P Ù (Q Ú A)) in 238 |
262 | ((D ® C) ® ((((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 41 |
263 | ((D ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) in 262 |
264 | (((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) in 263 |
265 | ((((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))))) | modus ponens with 260, 264 |
266 | (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) | modus ponens with 261, 265 |
267 | ((ØC Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) ® (C ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable B by (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)) in 64 |
268 | ((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) | replace proposition variable C by (P Ù (Q Ú A)) in 267 |
269 | ((D ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® D) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable C by ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) in 262 |
270 | (((Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) ® ((((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) in 269 |
271 | ((((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® (Ø(P Ù (Q Ú A)) Ú (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) ® (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))))) | modus ponens with 268, 270 |
272 | (((P Ù (Q Ú A)) ® Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA))) ® ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA)))) | modus ponens with 266, 271 |
273 | ((P Ù (Q Ú A)) ® (Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(ØP Ú ØA))) | modus ponens with 251, 272 |
274 | ((P Ù (Q Ú A)) ® ((P Ù Q) Ú Ø(ØP Ú ØA))) | reverse abbreviation and in 273 at occurence 1 |
275 | ((P Ù (Q Ú A)) ® ((P Ù Q) Ú (P Ù A))) | reverse abbreviation and in 274 at occurence 1 |
qed |
The second distributive law (second direction):
6. Proposition
(((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A))) (hilb41)
1 | ((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) | add proposition hilb36 |
2 | ((P ® Q) ® (ØQ ® ØP)) | add proposition hilb7 |
3 | ((P ® A) ® (ØA ® ØP)) | replace proposition variable Q by A in 2 |
4 | ((B ® A) ® (ØA ® ØB)) | replace proposition variable P by B in 3 |
5 | ((B ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØB)) | replace proposition variable A by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 4 |
6 | (((P Ú (Q Ù A)) ® ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable B by (P Ú (Q Ù A)) in 5 |
7 | (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) | modus ponens with 1, 6 |
8 | (ØØP ® P) | add proposition hilb6 |
9 | (ØØB ® B) | replace proposition variable P by B in 8 |
10 | (ØØ(Q Ù A) ® (Q Ù A)) | replace proposition variable B by (Q Ù A) in 9 |
11 | ((P ® Q) ® ((A Ú P) ® (A Ú Q))) | add axiom axiom4 |
12 | ((P ® Q) ® ((B Ú P) ® (B Ú Q))) | replace proposition variable A by B in 11 |
13 | ((P ® C) ® ((B Ú P) ® (B Ú C))) | replace proposition variable Q by C in 12 |
14 | ((D ® C) ® ((B Ú D) ® (B Ú C))) | replace proposition variable P by D in 13 |
15 | ((D ® C) ® ((P Ú D) ® (P Ú C))) | replace proposition variable B by P in 14 |
16 | ((D ® (Q Ù A)) ® ((P Ú D) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (Q Ù A) in 15 |
17 | ((ØØ(Q Ù A) ® (Q Ù A)) ® ((P Ú ØØ(Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable D by ØØ(Q Ù A) in 16 |
18 | ((P Ú ØØ(Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A))) | modus ponens with 10, 17 |
19 | ((P ® B) ® (ØB ® ØP)) | replace proposition variable Q by B in 2 |
20 | ((C ® B) ® (ØB ® ØC)) | replace proposition variable P by C in 19 |
21 | ((C ® (P Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú (Q Ù A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (P Ú (Q Ù A)) in 20 |
22 | (((P Ú ØØ(Q Ù A)) ® (P Ú (Q Ù A))) ® (Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by (P Ú ØØ(Q Ù A)) in 21 |
23 | (Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) | modus ponens with 18, 22 |
24 | ((P ® Q) ® (ØP Ú Q)) | add proposition defimpl1 |
25 | ((ØP Ú Q) ® (P ® Q)) | add proposition defimpl2 |
26 | ((D ® C) ® ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú D) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú C))) | replace proposition variable B by ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 14 |
27 | ((D ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú D) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 26 |
28 | ((Ø(P Ú (Q Ù A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | replace proposition variable D by Ø(P Ú (Q Ù A)) in 27 |
29 | ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 23, 28 |
30 | ((P ® B) ® (ØP Ú B)) | replace proposition variable Q by B in 24 |
31 | ((C ® B) ® (ØC Ú B)) | replace proposition variable P by C in 30 |
32 | ((C ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØC Ú Ø(P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú (Q Ù A)) in 31 |
33 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú (Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 32 |
34 | ((P ® Q) ® ((A ® P) ® (A ® Q))) | add proposition hilb1 |
35 | ((P ® Q) ® ((B ® P) ® (B ® Q))) | replace proposition variable A by B in 34 |
36 | ((P ® C) ® ((B ® P) ® (B ® C))) | replace proposition variable Q by C in 35 |
37 | ((D ® C) ® ((B ® D) ® (B ® C))) | replace proposition variable P by D in 36 |
38 | ((D ® C) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) in 37 |
39 | ((D ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 38 |
40 | (((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú (Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú (Q Ù A))) in 39 |
41 | (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú (Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 29, 40 |
42 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 33, 41 |
43 | ((ØP Ú B) ® (P ® B)) | replace proposition variable Q by B in 25 |
44 | ((ØC Ú B) ® (C ® B)) | replace proposition variable P by C in 43 |
45 | ((ØC Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (C ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 44 |
46 | ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 45 |
47 | ((D ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 38 |
48 | (((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 47 |
49 | (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 46, 48 |
50 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú (Q Ù A))) ® (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 42, 49 |
51 | (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) | modus ponens with 7, 50 |
52 | (P ® ØØP) | add proposition hilb5 |
53 | (A ® ØØA) | replace proposition variable P by A in 52 |
54 | ((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) | replace proposition variable A by (P Ú Q) in 53 |
55 | ((P Ù Q) ® Ø(ØP Ú ØQ)) | add proposition defand1 |
56 | (Ø(ØP Ú ØQ) ® (P Ù Q)) | add proposition defand2 |
57 | ((B ® ØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) ® ØB)) | replace proposition variable A by ØØ(P Ú Q) in 4 |
58 | (((P Ú Q) ® ØØ(P Ú Q)) ® (ØØØ(P Ú Q) ® Ø(P Ú Q))) | replace proposition variable B by (P Ú Q) in 57 |
59 | (ØØØ(P Ú Q) ® Ø(P Ú Q)) | modus ponens with 54, 58 |
60 | ((D ® C) ® ((Ø(P Ú A) Ú D) ® (Ø(P Ú A) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú A) in 14 |
61 | ((D ® Ø(P Ú Q)) ® ((Ø(P Ú A) Ú D) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú Q) in 60 |
62 | ((ØØØ(P Ú Q) ® Ø(P Ú Q)) ® ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)))) | replace proposition variable D by ØØØ(P Ú Q) in 61 |
63 | ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q))) | modus ponens with 59, 62 |
64 | ((P Ú Q) ® (Q Ú P)) | add axiom axiom3 |
65 | ((P Ú B) ® (B Ú P)) | replace proposition variable Q by B in 64 |
66 | ((C Ú B) ® (B Ú C)) | replace proposition variable P by C in 65 |
67 | ((C Ú Ø(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø(P Ú Q) in 66 |
68 | ((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú A) in 67 |
69 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® D) ® ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) in 37 |
70 | ((D ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® D) ® ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 69 |
71 | (((Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q))) ® ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q)) in 70 |
72 | (((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú A) Ú Ø(P Ú Q))) ® ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | modus ponens with 68, 71 |
73 | ((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 63, 72 |
74 | ((C Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø(P Ú A) in 66 |
75 | ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q))) | replace proposition variable C by ØØØ(P Ú Q) in 74 |
76 | ((D ® C) ® (((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® D) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 37 |
77 | ((D ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® D) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable C by (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 76 |
78 | (((Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q))) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q)) in 77 |
79 | (((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú A) Ú ØØØ(P Ú Q))) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | modus ponens with 73, 78 |
80 | ((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 75, 79 |
81 | ((C ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 20 |
82 | (((ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | replace proposition variable C by (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 81 |
83 | (Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 80, 82 |
84 | ((P Ù B) ® Ø(ØP Ú ØB)) | replace proposition variable Q by B in 55 |
85 | ((C Ù B) ® Ø(ØC Ú ØB)) | replace proposition variable P by C in 84 |
86 | ((C Ù (P Ú A)) ® Ø(ØC Ú Ø(P Ú A))) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 85 |
87 | (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | replace proposition variable C by (P Ú Q) in 86 |
88 | ((D ® C) ® ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 37 |
89 | ((D ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 88 |
90 | ((Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 89 |
91 | ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(Ø(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | modus ponens with 83, 90 |
92 | (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 87, 91 |
93 | (Ø(ØP Ú ØB) ® (P Ù B)) | replace proposition variable Q by B in 56 |
94 | (Ø(ØC Ú ØB) ® (C Ù B)) | replace proposition variable P by C in 93 |
95 | (Ø(ØC Ú Ø(P Ú A)) ® (C Ù (P Ú A))) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 94 |
96 | (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú Q) in 95 |
97 | ((D ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 88 |
98 | ((Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 97 |
99 | ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 96, 98 |
100 | (((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 92, 99 |
101 | ((C ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 20 |
102 | ((((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 101 |
103 | (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 100, 102 |
104 | ((C ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 20 |
105 | ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 104 |
106 | (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 103, 105 |
107 | ((D ® C) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú D) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 14 |
108 | ((D ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú D) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable C by ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 107 |
109 | ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))))) | replace proposition variable D by ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 108 |
110 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | modus ponens with 106, 109 |
111 | ((C Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú C)) | replace proposition variable B by ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 66 |
112 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 111 |
113 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 37 |
114 | ((D ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 113 |
115 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 114 |
116 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 112, 115 |
117 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 110, 116 |
118 | ((C Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 66 |
119 | ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 118 |
120 | ((D ® C) ® (((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 37 |
121 | ((D ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 120 |
122 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 121 |
123 | (((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 117, 122 |
124 | ((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 119, 123 |
125 | ((C ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØC Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable B by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 31 |
126 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 125 |
127 | ((D ® C) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 37 |
128 | ((D ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 127 |
129 | (((ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 128 |
130 | (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ((P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 124, 129 |
131 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 126, 130 |
132 | ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 45 |
133 | ((D ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 127 |
134 | (((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 133 |
135 | (((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 132, 134 |
136 | ((Ø((P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 131, 135 |
137 | (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) | modus ponens with 51, 136 |
138 | (B ® ØØB) | replace proposition variable P by B in 52 |
139 | ((P Ú A) ® ØØ(P Ú A)) | replace proposition variable B by (P Ú A) in 138 |
140 | ((C ® ØØ(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú A) ® ØC)) | replace proposition variable B by ØØ(P Ú A) in 20 |
141 | (((P Ú A) ® ØØ(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú A) ® Ø(P Ú A))) | replace proposition variable C by (P Ú A) in 140 |
142 | (ØØØ(P Ú A) ® Ø(P Ú A)) | modus ponens with 139, 141 |
143 | ((D ® C) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú D) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú C))) | replace proposition variable B by ØØØ(P Ú Q) in 14 |
144 | ((D ® Ø(P Ú A)) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú D) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú A) in 143 |
145 | ((ØØØ(P Ú A) ® Ø(P Ú A)) ® ((ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)))) | replace proposition variable D by ØØØ(P Ú A) in 144 |
146 | ((ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | modus ponens with 142, 145 |
147 | ((C ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 20 |
148 | (((ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® (ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)))) | replace proposition variable C by (ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) in 147 |
149 | (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) | modus ponens with 146, 148 |
150 | ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú Q) in 86 |
151 | ((D ® C) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 37 |
152 | ((D ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) in 151 |
153 | ((Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A)) in 152 |
154 | (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú Ø(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)))) | modus ponens with 149, 153 |
155 | ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) | modus ponens with 150, 154 |
156 | (Ø(ØC Ú ØØØ(P Ú A)) ® (C Ù ØØ(P Ú A))) | replace proposition variable B by ØØ(P Ú A) in 94 |
157 | (Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) | replace proposition variable C by ØØ(P Ú Q) in 156 |
158 | ((D ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® D) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 151 |
159 | ((Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A)) in 158 |
160 | (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(ØØØ(P Ú Q) Ú ØØØ(P Ú A))) ® ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | modus ponens with 157, 159 |
161 | ((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) | modus ponens with 155, 160 |
162 | ((C ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 20 |
163 | (((ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® (ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by (ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 162 |
164 | (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) | modus ponens with 161, 163 |
165 | ((C ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 20 |
166 | ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 165 |
167 | (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) | modus ponens with 164, 166 |
168 | ((D ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú D) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable C by ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 107 |
169 | ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))))) | replace proposition variable D by ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 168 |
170 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) | modus ponens with 167, 169 |
171 | ((C Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú C)) | replace proposition variable B by ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 66 |
172 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) in 171 |
173 | ((D ® C) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 37 |
174 | ((D ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® D) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 173 |
175 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A))) in 174 |
176 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)))) ® ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 172, 175 |
177 | ((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 170, 176 |
178 | ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) | replace proposition variable C by ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 118 |
179 | ((D ® C) ® (((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 37 |
180 | ((D ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 179 |
181 | (((Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A))) in 180 |
182 | (((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)) Ú ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)))) ® ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 177, 181 |
183 | ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 178, 182 |
184 | ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) in 125 |
185 | ((D ® C) ® (((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 37 |
186 | ((D ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 185 |
187 | (((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 186 |
188 | (((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 183, 187 |
189 | ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 184, 188 |
190 | ((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | replace proposition variable C by Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) in 45 |
191 | ((D ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® D) ® ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable C by (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 185 |
192 | (((ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® (((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) in 191 |
193 | (((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (ØØ(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) Ú Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) ® ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))))) | modus ponens with 190, 192 |
194 | ((Ø(ØØ(P Ú Q) Ù (P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) ® (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A)))) | modus ponens with 189, 193 |
195 | (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú A)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù A))) | modus ponens with 137, 194 |
196 | (Ø(ØØ(P Ú Q) Ù ØØ(P Ú B)) ® Ø(P Ú ØØ(Q Ù B))) | replace proposition variable A by B in 195 |
197 | (Ø(ØØ(P Ú C) Ù ØØ(P Ú B)) ® Ø(P Ú ØØ(C Ù B))) | replace proposition variable Q by C in 196 |
198 | (Ø(ØØ(D Ú C) Ù ØØ(D Ú B)) ® Ø(D Ú ØØ(C Ù B))) | replace proposition variable P by D in 197 |
199 | (Ø(ØØ(D Ú C) Ù ØØ(D Ú ØA)) ® Ø(D Ú ØØ(C Ù ØA))) | replace proposition variable B by ØA in 198 |
200 | (Ø(ØØ(D Ú ØQ) Ù ØØ(D Ú ØA)) ® Ø(D Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | replace proposition variable C by ØQ in 199 |
201 | (Ø(ØØ(ØP Ú ØQ) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | replace proposition variable D by ØP in 200 |
202 | (Ø(Ø(P Ù Q) Ù ØØ(ØP Ú ØA)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | reverse abbreviation and in 201 at occurence 1 |
203 | (Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | reverse abbreviation and in 202 at occurence 1 |
204 | (Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) | reverse abbreviation and in 203 at occurence 1 |
205 | ((P Ú Q) ® Ø(ØP Ù ØQ)) | add proposition hilb38 |
206 | ((P Ú B) ® Ø(ØP Ù ØB)) | replace proposition variable Q by B in 205 |
207 | ((C Ú B) ® Ø(ØC Ù ØB)) | replace proposition variable P by C in 206 |
208 | ((C Ú (P Ù A)) ® Ø(ØC Ù Ø(P Ù A))) | replace proposition variable B by (P Ù A) in 207 |
209 | (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) | replace proposition variable C by (P Ù Q) in 208 |
210 | ((C ® Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® ØC)) | replace proposition variable B by Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) in 20 |
211 | ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)))) | replace proposition variable C by ((P Ù Q) Ú (P Ù A)) in 210 |
212 | (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))) | modus ponens with 209, 211 |
213 | ((D ® C) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú D) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú C))) | replace proposition variable B by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 14 |
214 | ((D ® Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú D) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))))) | replace proposition variable C by Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) in 213 |
215 | ((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))))) | replace proposition variable D by ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) in 214 |
216 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)))) | modus ponens with 212, 215 |
217 | ((C Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú C)) | replace proposition variable B by Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) in 66 |
218 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable C by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 217 |
219 | ((D ® C) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® D) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® C))) | replace proposition variable B by ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) in 37 |
220 | ((D ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® D) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable C by (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 219 |
221 | ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable D by ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A))) in 220 |
222 | ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))))) | modus ponens with 218, 221 |
223 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | modus ponens with 216, 222 |
224 | ((C Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú C)) | replace proposition variable B by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 66 |
225 | ((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)))) | replace proposition variable C by ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) in 224 |
226 | ((D ® C) ® (((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® C))) | replace proposition variable B by (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 37 |
227 | ((D ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® (((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable C by (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 226 |
228 | ((((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® (((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)))) ® ((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable D by ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A))) in 227 |
229 | (((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) Ú ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)))) ® ((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))))) | modus ponens with 223, 228 |
230 | ((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | modus ponens with 225, 229 |
231 | ((C ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (ØC Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable B by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 31 |
232 | ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable C by Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) in 231 |
233 | ((D ® C) ® (((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® C))) | replace proposition variable B by (Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 37 |
234 | ((D ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® (((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable C by (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 233 |
235 | (((ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® (((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable D by (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 234 |
236 | (((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (ØØ(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))))) | modus ponens with 230, 235 |
237 | ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | modus ponens with 232, 236 |
238 | ((ØC Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (C ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable B by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 44 |
239 | ((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable C by ((P Ù Q) Ú (P Ù A)) in 238 |
240 | ((D ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® (((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable C by (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 233 |
241 | (((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® (((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))))) | replace proposition variable D by (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 240 |
242 | (((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))))) | modus ponens with 239, 241 |
243 | ((Ø(Ø(P Ù Q) Ù Ø(P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | modus ponens with 237, 242 |
244 | (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) | modus ponens with 204, 243 |
245 | (Ø(ØP Ù ØQ) ® (P Ú Q)) | add proposition hilb39 |
246 | (Ø(ØP Ù ØB) ® (P Ú B)) | replace proposition variable Q by B in 245 |
247 | (Ø(ØC Ù ØB) ® (C Ú B)) | replace proposition variable P by C in 246 |
248 | (Ø(ØC Ù ØA) ® (C Ú A)) | replace proposition variable B by A in 247 |
249 | (Ø(ØQ Ù ØA) ® (Q Ú A)) | replace proposition variable C by Q in 248 |
250 | ((C ® (Q Ú A)) ® (Ø(Q Ú A) ® ØC)) | replace proposition variable B by (Q Ú A) in 20 |
251 | ((Ø(ØQ Ù ØA) ® (Q Ú A)) ® (Ø(Q Ú A) ® ØØ(ØQ Ù ØA))) | replace proposition variable C by Ø(ØQ Ù ØA) in 250 |
252 | (Ø(Q Ú A) ® ØØ(ØQ Ù ØA)) | modus ponens with 249, 251 |
253 | ((D ® C) ® ((ØP Ú D) ® (ØP Ú C))) | replace proposition variable B by ØP in 14 |
254 | ((D ® ØØ(ØQ Ù ØA)) ® ((ØP Ú D) ® (ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable C by ØØ(ØQ Ù ØA) in 253 |
255 | ((Ø(Q Ú A) ® ØØ(ØQ Ù ØA)) ® ((ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® (ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable D by Ø(Q Ú A) in 254 |
256 | ((ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® (ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | modus ponens with 252, 255 |
257 | ((C ® (ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® ØC)) | replace proposition variable B by (ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) in 20 |
258 | (((ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® (ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® (Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)))) | replace proposition variable C by (ØP Ú Ø(Q Ú A)) in 257 |
259 | (Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) | modus ponens with 256, 258 |
260 | ((C Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØC Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | replace proposition variable B by Ø(ØQ Ù ØA) in 85 |
261 | ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) | replace proposition variable C by P in 260 |
262 | ((D ® C) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® D) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® C))) | replace proposition variable B by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 37 |
263 | ((D ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® D) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))))) | replace proposition variable C by Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) in 262 |
264 | ((Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA)) in 263 |
265 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú ØØ(ØQ Ù ØA))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)))) | modus ponens with 259, 264 |
266 | ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) | modus ponens with 261, 265 |
267 | (Ø(ØC Ú Ø(Q Ú A)) ® (C Ù (Q Ú A))) | replace proposition variable B by (Q Ú A) in 94 |
268 | (Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® (P Ù (Q Ú A))) | replace proposition variable C by P in 267 |
269 | ((D ® (P Ù (Q Ú A))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® D) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® (P Ù (Q Ú A))))) | replace proposition variable C by (P Ù (Q Ú A)) in 262 |
270 | ((Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) ® (P Ù (Q Ú A))) ® (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® (P Ù (Q Ú A))))) | replace proposition variable D by Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A)) in 269 |
271 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® Ø(ØP Ú Ø(Q Ú A))) ® ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® (P Ù (Q Ú A)))) | modus ponens with 268, 270 |
272 | ((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® (P Ù (Q Ú A))) | modus ponens with 266, 271 |
273 | ((D ® C) ® ((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú D) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú C))) | replace proposition variable B by Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) in 14 |
274 | ((D ® (P Ù (Q Ú A))) ® ((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú D) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A))))) | replace proposition variable C by (P Ù (Q Ú A)) in 273 |
275 | (((P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) ® (P Ù (Q Ú A))) ® ((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A))))) | replace proposition variable D by (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)) in 274 |
276 | ((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))) | modus ponens with 272, 275 |
277 | ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) | replace proposition variable C by ((P Ù Q) Ú (P Ù A)) in 231 |
278 | ((D ® C) ® (((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® C))) | replace proposition variable B by (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 37 |
279 | ((D ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))) ® (((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))))) | replace proposition variable C by (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A))) in 278 |
280 | (((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))) ® (((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))))) | replace proposition variable D by (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) in 279 |
281 | (((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù Ø(ØQ Ù ØA)))) ® ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A))))) | modus ponens with 276, 280 |
282 | ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))) | modus ponens with 277, 281 |
283 | ((ØC Ú (P Ù (Q Ú A))) ® (C ® (P Ù (Q Ú A)))) | replace proposition variable B by (P Ù (Q Ú A)) in 44 |
284 | ((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A)))) | replace proposition variable C by ((P Ù Q) Ú (P Ù A)) in 283 |
285 | ((D ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A)))) ® (((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® D) ® ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A)))))) | replace proposition variable C by (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A))) in 278 |
286 | (((Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A)))) ® (((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))) ® ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A)))))) | replace proposition variable D by (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A))) in 285 |
287 | (((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (Ø((P Ù Q) Ú (P Ù A)) Ú (P Ù (Q Ú A)))) ® ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A))))) | modus ponens with 284, 286 |
288 | ((((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù Ø(ØQ Ù ØA))) ® (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A)))) | modus ponens with 282, 287 |
289 | (((P Ù Q) Ú (P Ù A)) ® (P Ù (Q Ú A))) | modus ponens with 244, 288 |
qed |