MODULE (
  HEADER (
    SPEC (
      NAME ("prophilbert3"),
      VERSION ("1.00.00"),
      VERSION ("1.02.00"),
      LOCATIONS (
        LOCATION ("http://www.qedeq.org/0_00_53")
      )
    ),
    HEADLINE ("Further Theorems of Propositional Calculus"),
    DESCRIPTION (
      "This module includes proofs of popositional calculus theorems. The following theorems and proofs are adapted from D. Hilbert and W. Ackermann's `Grundzuege der theoretischen Logik' (Berlin 1928, Springer)"
    ),
    EMAIL ("module@qedeq.org"),
    AUTHORS (
      AUTHOR ("Michael Meyling",EMAIL ("mime@qedeq.org"))
    )
  ),
  IMPORTS (
    IMPORT (
      SPEC (
        NAME ("prophilbert2"),
        VERSION ("1.00.00"),
        VERSION ("1.02.00"),
        LOCATIONS (
          LOCATION ("."),
          LOCATION ("http://www.qedeq.org/0_00_53")
        )
      )
    )
  ),
  USEDBY (
    SPEC (
      NAME ("predtheo2"),
      VERSION ("1.00.00"),
      VERSION ("1.02.00"),
      LOCATIONS (
        LOCATION (".")
      )
    )
  ),
  PARAGRAPHS (
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb36"),
      "First distributive law (first direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb24"))
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), PROP(3)), PROP(1)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(4), PROP(3)), PROP(4)),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(2), PROP(3)), PROP(2)),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(6)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(5),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(AND(PROP(2), PROP(3)), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(6),
              AND(PROP(2), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(2))),
            MODUSPONENS (4, 11)
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), PROP(2)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb25"))
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), PROP(3)), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(4), PROP(3)), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(2), PROP(3)), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(5),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(AND(PROP(2), PROP(3)), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              17, 
              PROP(6),
              AND(PROP(2), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(3))),
            MODUSPONENS (16, 18)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), AND(PROP(1), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb28"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(3), AND(PROP(1), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              20, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(4), IMPL(PROP(3), AND(PROP(4), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              21, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(4), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(PROP(4), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              22, 
              PROP(3),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              23, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              26, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              27, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              28, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              29, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(2))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              30, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(2))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (24, 31)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (12, 32)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(3)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb16"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(4))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              34, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              35, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(6), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(6), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(PROP(6), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              38, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              39, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (33, 40)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              29, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              42, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (41, 43)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (19, 44)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(1), PROP(2))), IMPL(PROP(1), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb33"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(1), PROP(3))), IMPL(PROP(1), PROP(3))),
            REPLACEPROP (
              46, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), IMPL(PROP(4), PROP(3))), IMPL(PROP(4), PROP(3))),
            REPLACEPROP (
              47, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), IMPL(PROP(4), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(PROP(4), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              48, 
              PROP(3),
              AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              49, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (45, 50)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb37"),
      "First distributive law (second direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), AND(PROP(1), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb28"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(3), AND(PROP(1), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(4), IMPL(PROP(3), AND(PROP(4), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(3), AND(PROP(2), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(6)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(5),
              AND(PROP(2), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(3), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(6),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              12, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(2), PROP(6)), IMPL(PROP(2), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(PROP(2), PROP(6)), IMPL(PROP(2), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              16, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(PROP(3), AND(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(3), AND(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(PROP(2), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              17, 
              PROP(6),
              IMPL(PROP(3), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(3), AND(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(PROP(2), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (11, 18)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (4, 19)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(3)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb16"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(4))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              21, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              22, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(6), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              23, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(6), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(PROP(6), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              26, 
              PROP(6),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (20, 27)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              29, 
              PROP(6),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              32, 
              PROP(6),
              IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))))),
            MODUSPONENS (30, 33)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (28, 34)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(OR(PROP(1), PROP(1)), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (35, LINK("hilb14"), LINK("hilb15"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (36, LINK("hilb11"), LINK("hilb12"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), IMPL(PROP(6), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              38, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (37, 39)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb29"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(4))), IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              41, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(AND(PROP(1), PROP(5)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              42, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(AND(PROP(6), PROP(5)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              43, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(AND(PROP(6), PROP(5)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              44, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(AND(PROP(6), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              45, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              46, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (40, 47)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb38"),
      "A form for the abbreviation rule form for disjunction (first direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), NOT(AND(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2)))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), PROP(2)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (3, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 5)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), NOT(NOT(OR(NOT(NOT(PROP(1))), PROP(2))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (4, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 8)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), NOT(NOT(OR(NOT(NOT(PROP(1))), NOT(NOT(PROP(2))))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (5, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 11)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), NOT(AND(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2))))),
            REVERSEABBREVIATION (6, LINK ("and"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb39"),
      "A form for the abbreviation rule form for disjunction (second direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(NOT(AND(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2)))), OR(PROP(1), PROP(2)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), PROP(2)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(PROP(1), PROP(2))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (3, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 2)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(NOT(OR(NOT(NOT(PROP(1))), PROP(2)))), OR(PROP(1), PROP(2))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (4, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 5)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(NOT(OR(NOT(NOT(PROP(1))), NOT(NOT(PROP(2)))))), OR(PROP(1), PROP(2))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (5, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 8)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2)))), OR(PROP(1), PROP(2))),
            REVERSEABBREVIATION (6, LINK ("and"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb40"),
      "By duality we get the second distributive law (first direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(AND(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(AND(PROP(1), PROP(2)), AND(PROP(1), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb37"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(1)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb7"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(3)), IMPL(NOT(PROP(3)), NOT(PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(3)), IMPL(NOT(PROP(3)), NOT(PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(NOT(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), NOT(PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(3),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(NOT(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), NOT(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(4),
              AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))), NOT(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (1, 6)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(3)))))), NOT(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (7, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 5)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(3)))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (8, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 12)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(3)))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2)))), NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (9, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 17)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(4)))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2)))), NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(4))))))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(5), PROP(4)))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(5)))), NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(4))))))),
            REPLACEPROP (
              11, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(6), NOT(NOT(AND(PROP(5), PROP(4)))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(6), PROP(5)))), NOT(NOT(OR(PROP(6), PROP(4))))))),
            REPLACEPROP (
              12, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(6), NOT(NOT(AND(PROP(5), NOT(PROP(3))))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(6), PROP(5)))), NOT(NOT(OR(PROP(6), NOT(PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(4),
              NOT(PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(6), NOT(NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3))))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(6), NOT(PROP(2))))), NOT(NOT(OR(PROP(6), NOT(PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(5),
              NOT(PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3))))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2))))), NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(6),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3))))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2))))), NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(3)))))))),
            REVERSEABBREVIATION (16, LINK ("and"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), NOT(AND(NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2))))), NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(3)))))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (17, LINK("hilb39"), LINK("hilb38"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2)))), NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(3)))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (18, LINK("hilb39"), LINK("hilb38"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(AND(PROP(1), PROP(2)), NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(3)))))),
            REVERSEABBREVIATION (19, LINK ("and"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(AND(PROP(1), PROP(2)), AND(PROP(1), PROP(3)))),
            REVERSEABBREVIATION (20, LINK ("and"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb41"),
      "The second distributive law (second direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(AND(PROP(1), PROP(2)), AND(PROP(1), PROP(3))), AND(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb36"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(1)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb7"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(3)), IMPL(NOT(PROP(3)), NOT(PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(3)), IMPL(NOT(PROP(3)), NOT(PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(NOT(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))), NOT(PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(3),
              AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))), AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(NOT(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))), NOT(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))), NOT(OR(PROP(1), AND(PROP(2), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (1, 6)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(1), PROP(3)))), NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(3))))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (7, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 13)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(PROP(1), PROP(3)))), NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(3))))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (8, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 4)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2)))), NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(3)))))), NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(3))))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (9, LINK("hilb5"), LINK("hilb6"), 9)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(2)))), NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(4)))))), NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(2), PROP(4))))))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(5)))), NOT(NOT(OR(PROP(1), PROP(4)))))), NOT(OR(PROP(1), NOT(NOT(AND(PROP(5), PROP(4))))))),
            REPLACEPROP (
              11, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(6), PROP(5)))), NOT(NOT(OR(PROP(6), PROP(4)))))), NOT(OR(PROP(6), NOT(NOT(AND(PROP(5), PROP(4))))))),
            REPLACEPROP (
              12, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(6), PROP(5)))), NOT(NOT(OR(PROP(6), NOT(PROP(3))))))), NOT(OR(PROP(6), NOT(NOT(AND(PROP(5), NOT(PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(4),
              NOT(PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(PROP(6), NOT(PROP(2))))), NOT(NOT(OR(PROP(6), NOT(PROP(3))))))), NOT(OR(PROP(6), NOT(NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(5),
              NOT(PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2))))), NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(3))))))), NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3)))))))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(6),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(AND(PROP(1), PROP(2))), NOT(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(3))))))), NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3)))))))),
            REVERSEABBREVIATION (16, LINK ("and"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(AND(PROP(1), PROP(2))), NOT(AND(PROP(1), PROP(3))))), NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3)))))))),
            REVERSEABBREVIATION (17, LINK ("and"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(AND(NOT(AND(PROP(1), PROP(2))), NOT(AND(PROP(1), PROP(3))))), AND(PROP(1), NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3)))))),
            REVERSEABBREVIATION (18, LINK ("and"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(AND(PROP(1), PROP(2)), AND(PROP(1), PROP(3))), AND(PROP(1), NOT(AND(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(3)))))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (19, LINK("hilb39"), LINK("hilb38"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(AND(PROP(1), PROP(2)), AND(PROP(1), PROP(3))), AND(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))),
            IMPLICATIONEQUIVALENT (20, LINK("hilb39"), LINK("hilb38"), 1)
          )
        )
      )
    )
  )
)

