MODULE (
  HEADER (
    SPEC (
      NAME ("prophilbert1"),
      VERSION ("1.00.00"),
      VERSION ("1.00.00"),
      LOCATIONS (
        LOCATION ("http://www.qedeq.org/0_00_53")
      )
    ),
    HEADLINE ("First theorems of Propositional Calculus"),
    DESCRIPTION (
      "This module includes first proofs of propositional calculus theorems. The following theorems and proofs are adapted from D. Hilbert and W. Ackermann's `Grundzuege der theoretischen Logik' (Berlin 1928, Springer)"
    ),
    EMAIL ("module@qedeq.org"),
    AUTHORS (
      AUTHOR ("Michael Meyling",EMAIL ("mime@qedeq.org"))
    )
  ),
  IMPORTS (
    IMPORT (
      SPEC (
        NAME ("propaxiom"),
        VERSION ("1.00.00"),
        VERSION ("1.00.00"),
        LOCATIONS (
          LOCATION ("."),
          LOCATION ("http://www.qedeq.org/0_00_53")
        )
      )
    )
  ),
  USEDBY (
    SPEC (
        NAME ("prophilbert2"),
      VERSION ("1.00.00"),
      VERSION ("1.00.00"),
      LOCATIONS (
        LOCATION (".")
      )
    )
  ),
  PARAGRAPHS (
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb1"),
      "First we prove a simple implication, that follows directly from the fourth axiom:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(NOT(PROP(3)), PROP(1)), OR(NOT(PROP(3)), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(3),
              NOT(PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), OR(NOT(PROP(3)), PROP(2)))),
            REVERSEABBREVIATION (2, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            REVERSEABBREVIATION (3, LINK ("impl"), 1)
          )
        )
      ),
      "This proposition is the form for the Hypothetical Syllogism."
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb2"),
      "The self implication could be derived:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(PROP(1), PROP(1))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1)),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(6)), IMPL(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(1)), IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(6)), IMPL(PROP(1), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(5),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1)), IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(1))), IMPL(PROP(1), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(1))), IMPL(PROP(1), PROP(1))),
            MODUSPONENS (3, 10)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            MODUSPONENS (2, 11)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb3"),
      "One form of the classical `tertium non datur'",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          OR(NOT(PROP(1)), PROP(1))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            OR(NOT(PROP(1)), PROP(1)),
            USEABBREVIATION (1, LINK ("impl"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb4"),
      "The standard form of the excluded middle:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          OR(PROP(1), NOT(PROP(1)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            OR(NOT(PROP(1)), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(3),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(1)), OR(PROP(1), NOT(PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(4),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            OR(PROP(1), NOT(PROP(1))),
            MODUSPONENS (1, 6)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb5"),
      "Double negation is implicated:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(PROP(1), NOT(NOT(PROP(1))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            OR(PROP(1), NOT(PROP(1))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb4"))
          ),
          LINE (
            OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), NOT(NOT(PROP(1)))),
            REVERSEABBREVIATION (2, LINK ("impl"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb6"),
      "The reverse is also true:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(NOT(NOT(PROP(1))), PROP(1))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), NOT(NOT(PROP(1)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb5"))
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(6)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(5),
              NOT(NOT(NOT(PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))), IMPL(OR(PROP(1), NOT(PROP(1))), OR(PROP(1), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(6),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), NOT(PROP(1))), OR(PROP(1), NOT(NOT(NOT(PROP(1)))))),
            MODUSPONENS (2, 9)
          ),
          LINE (
            OR(PROP(1), NOT(PROP(1))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb4"))
          ),
          LINE (
            OR(PROP(1), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))),
            MODUSPONENS (11, 10)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))), OR(NOT(NOT(NOT(PROP(1)))), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(3),
              NOT(NOT(NOT(PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), NOT(NOT(NOT(PROP(1))))), OR(NOT(NOT(NOT(PROP(1)))), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              16, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            OR(NOT(NOT(NOT(PROP(1)))), PROP(1)),
            MODUSPONENS (12, 17)
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(NOT(PROP(1))), PROP(1)),
            REVERSEABBREVIATION (18, LINK ("impl"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb7"),
      "The correct reverse of an implication:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(1))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), NOT(NOT(PROP(1)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb5"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), NOT(NOT(PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(6)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(6)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(4),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), NOT(NOT(PROP(2)))), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(6)), OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2)))))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(5),
              NOT(NOT(PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), NOT(NOT(PROP(2)))), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2)))))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(6),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2))))),
            MODUSPONENS (2, 9)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              11, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              12, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), NOT(NOT(PROP(2)))), OR(NOT(NOT(PROP(2))), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(3),
              NOT(NOT(PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2)))), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(4),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              16, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              17, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              18, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), PROP(6)), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              19, 
              PROP(4),
              OR(NOT(PROP(1)), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), PROP(6)), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              20, 
              PROP(5),
              OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2)))), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2))))), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              21, 
              PROP(6),
              OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), NOT(NOT(PROP(2))))), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1))))),
            MODUSPONENS (15, 22)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))),
            MODUSPONENS (10, 23)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), OR(NOT(NOT(PROP(2))), NOT(PROP(1)))),
            REVERSEABBREVIATION (24, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(1)))),
            REVERSEABBREVIATION (25, LINK ("impl"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("defimpl1"),
      "Definition of an Implication 1. part:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(3),
              IMPL(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(2))),
            USEABBREVIATION (3, LINK ("impl"), 3)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("defimpl2"),
      "Definition of an Implication 2. part:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), IMPL(PROP(1), PROP(2)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(3),
              IMPL(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), IMPL(PROP(1), PROP(2))),
            USEABBREVIATION (3, LINK ("impl"), 2)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("defand1"),
      "Definition of a Conjunction 1. part:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2)))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), AND(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(3),
              AND(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2))))),
            USEABBREVIATION (3, LINK ("and"), 2)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("defand2"),
      "Definition of a Conjunction 2. part:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2)))), AND(PROP(1), PROP(2)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(PROP(1), PROP(2)), AND(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(3),
              AND(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(NOT(PROP(1)), NOT(PROP(2)))), AND(PROP(1), PROP(2))),
            USEABBREVIATION (3, LINK ("and"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("defequi1"),
      "Definition of an Equivalence 1. part:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(EQUI(PROP(1), PROP(2)), AND(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(PROP(2), PROP(1))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(EQUI(PROP(1), PROP(2)), EQUI(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(3),
              EQUI(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(EQUI(PROP(1), PROP(2)), AND(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(PROP(2), PROP(1)))),
            USEABBREVIATION (3, LINK ("equi"), 2)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("defequi2"),
      "Definition of an Equivalence 2. part:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(AND(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(PROP(2), PROP(1))), EQUI(PROP(1), PROP(2)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), PROP(3)),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(EQUI(PROP(1), PROP(2)), EQUI(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(3),
              EQUI(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(AND(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(PROP(2), PROP(1))), EQUI(PROP(1), PROP(2))),
            USEABBREVIATION (3, LINK ("equi"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb8"),
      "A simular formulation for the second axiom:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(6)), IMPL(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(6)), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (2, 9)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))),
            MODUSPONENS (1, 10)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb9"),
      "A technical lemma (equal to the third axiom):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb10"),
      "And another technical lemma (simular to the third axiom):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(2), PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(2)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(3),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb11"),
      "A technical lemma (equal to the first axiom):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1)),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom1"))
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb12"),
      "A simple propositon that follows directly from the second axiom:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(1)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(1)
            )
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb13"),
      "This is a pre form for the associative law:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb8"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(4), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(5), OR(PROP(4), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(5), OR(PROP(1), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(3))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(5),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(6)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(2), PROP(6)), OR(PROP(2), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(1), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(2), PROP(6)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(2), PROP(3)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              11, 
              PROP(6),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), PROP(3)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (5, 12)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), PROP(3)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(6),
              OR(PROP(2), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (13, 16)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb9"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(4)), OR(PROP(4), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              18, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), PROP(4)), OR(PROP(4), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              19, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              20, 
              PROP(4),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              21, 
              PROP(5),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("defimpl1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), IMPL(PROP(1), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("defimpl2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), PROP(6)), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(4),
              NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), PROP(6)), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              26, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (22, 27)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(4)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              23, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), PROP(4)), OR(NOT(PROP(5)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              29, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(PROP(5)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              30, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              33, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              34, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              35, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(4),
              IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              38, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (28, 39)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (32, 40)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(4)), IMPL(PROP(1), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), PROP(4)), IMPL(PROP(5), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              42, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), IMPL(PROP(5), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              43, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              44, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              46, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (45, 47)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (41, 48)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))),
            MODUSPONENS (17, 49)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(3))),
            REPLACEPROP (
              52, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(6)), IMPL(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(6)), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              54, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(3)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(3))), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              55, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(3))), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (51, 56)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (53, 57)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(6)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(4),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(6)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              59, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              60, 
              PROP(6),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (58, 61)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1)),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb11"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(4)), PROP(4)),
            REPLACEPROP (
              63, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              64, 
              PROP(4),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), PROP(6)), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(4),
              NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), PROP(6)), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              66, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              67, 
              PROP(6),
              OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (65, 68)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(PROP(5)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              30, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              70, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(4),
              IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              72, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              73, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (69, 74)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (71, 75)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(PROP(5), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              43, 
              PROP(4),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              77, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              72, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              79, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (78, 80)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (76, 81)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (62, 82)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              84, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1)), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              85, 
              PROP(6),
              OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (83, 86)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (50, 87)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb14"),
      "The associative law for the disjunction (first direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb9"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(4)), OR(PROP(4), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), PROP(4)), OR(PROP(4), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(4),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(5),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              7, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(6)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(3), PROP(2))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(5),
              OR(PROP(3), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(2))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              11, 
              PROP(6),
              OR(PROP(2), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            MODUSPONENS (5, 12)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("defimpl1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), IMPL(PROP(1), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("defimpl2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(4)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), PROP(4)), OR(NOT(PROP(5)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              16, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              18, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              19, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              20, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(4)), IMPL(PROP(1), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), PROP(4)), IMPL(PROP(5), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              22, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb13"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(4))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(5), PROP(4))), OR(PROP(5), OR(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(5), PROP(4))), OR(PROP(5), OR(PROP(6), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              26, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(5), PROP(2))), OR(PROP(5), OR(PROP(6), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              27, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(3), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(6), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              28, 
              PROP(5),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              29, 
              PROP(6),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              21, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(5),
              OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))))),
            REPLACEPROP (
              32, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))))),
            MODUSPONENS (30, 33)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))),
            MODUSPONENS (13, 34)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(5),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), PROP(6)), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(4),
              NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), PROP(6)), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              38, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              39, 
              PROP(6),
              OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (37, 40)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(PROP(5)), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              17, 
              PROP(4),
              OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              42, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              21, 
              PROP(4),
              IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              44, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              45, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (41, 46)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (43, 47)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), IMPL(PROP(5), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              23, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              49, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              44, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              51, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), OR(NOT(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (50, 52)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (48, 53)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))),
            MODUSPONENS (35, 54)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb15"),
      "The associative law for the disjunction (second direction):",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb14"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(4))), OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(5), PROP(4))), OR(OR(PROP(1), PROP(5)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(5), PROP(4))), OR(OR(PROP(6), PROP(5)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(5), PROP(1))), OR(OR(PROP(6), PROP(5)), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(6), PROP(2)), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(5),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(6),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb10"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(4), PROP(5)), OR(PROP(5), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              9, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(5)), OR(PROP(5), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(4),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              11, 
              PROP(5),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("defimpl1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(2)), IMPL(PROP(1), PROP(2))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("defimpl2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(NOT(PROP(2)), NOT(PROP(1)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb7"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(4)), IMPL(NOT(PROP(4)), NOT(PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              15, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), PROP(4)), IMPL(NOT(PROP(4)), NOT(PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              16, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), NOT(PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              17, 
              PROP(4),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              18, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (12, 19)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              21, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(1)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              22, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(4), PROP(6)), OR(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              23, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), PROP(6)), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), PROP(6)), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(5),
              NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              26, 
              PROP(6),
              NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (20, 27)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(4)), OR(PROP(4), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              29, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), PROP(4)), OR(PROP(4), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              30, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(4),
              NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              32, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(3), PROP(1)), IMPL(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              34, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(1)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              35, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(6)), IMPL(PROP(4), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), PROP(6)), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), PROP(6)), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              38, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              39, 
              PROP(6),
              OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (33, 40)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (28, 41)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              43, 
              PROP(5),
              NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              45, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              46, 
              PROP(6),
              OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))), IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (42, 47)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (44, 48)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(4)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), PROP(4)), OR(NOT(PROP(5)), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              50, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(PROP(5)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              51, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              52, 
              PROP(5),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              54, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              55, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (49, 56)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (53, 57)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), PROP(4)), IMPL(PROP(1), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(2),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), PROP(4)), IMPL(PROP(5), PROP(4))),
            REPLACEPROP (
              59, 
              PROP(1),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(PROP(5), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              60, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              61, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              54, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              63, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (62, 64)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (58, 65)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))),
            MODUSPONENS (7, 66)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(6)), OR(PROP(3), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(4),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(3), PROP(6)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              68, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              69, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (29, 70)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(4),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))),
            REPLACEPROP (
              72, 
              PROP(5),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), PROP(6)), IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              74, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              75, 
              PROP(6),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (73, 76)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))),
            MODUSPONENS (71, 77)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), PROP(3)), OR(PROP(3), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(4),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              79, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), PROP(6)), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), PROP(6)), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              81, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              82, 
              PROP(6),
              OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (78, 83)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))),
            MODUSPONENS (80, 84)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), IMPL(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), NOT(PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              17, 
              PROP(4),
              OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), IMPL(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              86, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (85, 87)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), PROP(6)), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(5),
              NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              89, 
              PROP(6),
              NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (88, 90)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(4),
              NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              92, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), PROP(6)), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), PROP(6)), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              94, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              95, 
              PROP(6),
              OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))))), IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (93, 96)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (91, 97)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              43, 
              PROP(5),
              NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              100, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              101, 
              PROP(6),
              OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (98, 102)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (99, 103)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              52, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              106, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              107, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (104, 108)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (105, 109)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              61, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              106, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              112, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (111, 113)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (110, 114)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))),
            MODUSPONENS (67, 115)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              117, 
              PROP(5),
              OR(PROP(3), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), PROP(6)), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(4),
              NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), PROP(6)), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))))),
            REPLACEPROP (
              119, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))))),
            REPLACEPROP (
              120, 
              PROP(6),
              OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            MODUSPONENS (118, 121)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              52, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))))),
            REPLACEPROP (
              124, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))))),
            REPLACEPROP (
              125, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1)))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))))),
            MODUSPONENS (122, 126)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            MODUSPONENS (123, 127)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(PROP(5), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              60, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              129, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))))),
            REPLACEPROP (
              124, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))))),
            REPLACEPROP (
              131, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))))),
            MODUSPONENS (130, 132)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(OR(PROP(3), PROP(2)), PROP(1))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            MODUSPONENS (128, 133)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            MODUSPONENS (116, 134)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(5), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(5))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(4),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(3), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(3))),
            REPLACEPROP (
              136, 
              PROP(5),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(4),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), PROP(6)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              138, 
              PROP(5),
              OR(PROP(2), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(3))), IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              139, 
              PROP(6),
              OR(PROP(3), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (137, 140)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), PROP(6)), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              119, 
              PROP(5),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))))),
            REPLACEPROP (
              142, 
              PROP(6),
              OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (141, 143)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(5), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(PROP(5)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              51, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              145, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), PROP(5)), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), PROP(5)))),
            REPLACEPROP (
              37, 
              PROP(4),
              IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              147, 
              PROP(5),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              148, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (144, 149)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (146, 150)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(5)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(PROP(5), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              60, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))),
            REPLACEPROP (
              152, 
              PROP(5),
              OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), PROP(6)), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              147, 
              PROP(5),
              IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))))),
            REPLACEPROP (
              154, 
              PROP(6),
              OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), OR(NOT(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3))), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))), IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))))),
            MODUSPONENS (153, 155)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(2)))), IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))))),
            MODUSPONENS (151, 156)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(1), PROP(2)), PROP(3)), OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3)))),
            MODUSPONENS (135, 157)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb16"),
      "Another consequence from hilb13 is the exchange of preconditions:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb13"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(4))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(5), PROP(4))), OR(PROP(5), OR(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(5), PROP(4))), OR(PROP(5), OR(PROP(6), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(5), PROP(3))), OR(PROP(5), OR(PROP(6), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(4),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(NOT(PROP(2)), PROP(3))), OR(NOT(PROP(2)), OR(PROP(6), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(5),
              NOT(PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(1)), OR(NOT(PROP(2)), PROP(3))), OR(NOT(PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(6),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), OR(NOT(PROP(2)), PROP(3))), OR(NOT(PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(3)))),
            REVERSEABBREVIATION (7, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), OR(NOT(PROP(2)), OR(NOT(PROP(1)), PROP(3)))),
            REVERSEABBREVIATION (8, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), IMPL(PROP(2), OR(NOT(PROP(1)), PROP(3)))),
            REVERSEABBREVIATION (9, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(3)))),
            REVERSEABBREVIATION (10, LINK ("impl"), 1)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("hilb17"),
      "An analogus form for \hyperref[hilb16]{hilb16}:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(3))), IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(3)))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("hilb16"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(4))), IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(3),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(1), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              PROP(5)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), PROP(4))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(6), PROP(4)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(5), PROP(3))), IMPL(PROP(5), IMPL(PROP(6), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(4),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(6), IMPL(PROP(1), PROP(3))), IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(6), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(5),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), IMPL(PROP(1), PROP(3))), IMPL(PROP(1), IMPL(PROP(2), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              6, 
              PROP(6),
              PROP(2)
            )
          )
        )
      )
    )
  )
)

