MODULE (
  HEADER (
    SPEC (
      NAME ("proptheo2"),
      VERSION ("1.00.00"),
      VERSION ("1.00.00"),
      LOCATIONS (
        LOCATION ("http://www.qedeq.org/0_00_53")
      )
    ),
    HEADLINE ("The Axioms of the Whitehead Russell Calculus"),
    DESCRIPTION (
      "This module notates the original axioms of the Whitehead-Russell calculus, the so called `primitive propositions'. These five primitive propositions could be deduced by our four axioms."
    ),
    EMAIL ("module@qedeq.org"),
    AUTHORS (
      AUTHOR ("Michael Meyling",EMAIL ("mime@qedeq.org"))
    )
  ),
  IMPORTS (
    IMPORT (
      SPEC (
        NAME ("propaxiom"),
        VERSION ("1.00.00"),
        VERSION ("1.00.00"),
        LOCATIONS (
          LOCATION ("."),
          LOCATION ("http://www.qedeq.org/0_00_53")
        )
      )
    )
  ),
  PARAGRAPHS (
    PARAGRAPH (
      LABEL ("lem1"),
      "At first we show a little proposition to demonstrate the basic proof methods of propositional calculus:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(4)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(4)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(4), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(3), PROP(4)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(3), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(4),
              OR(PROP(1), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(OR(NOT(PROP(1)), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(NOT(PROP(1)), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(3),
              NOT(PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))), OR(NOT(PROP(1)), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (5, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (6, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))), IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (8, 7)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))),
            MODUSPONENS (10, 9)
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("prin1"),
      "This is the first primitive proposition, its equal to our first axiom:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1)),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom1"))
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("prin2"),
      "Now comes the second primitive proposition. It looks simular to our second axiom, but we have to use our first proposition to prove it:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(2)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("lem1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(1),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(3),
              PROP(1)
            )
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("prin3"),
      "The third primitive proposition:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1)))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("prin4"),
      "The fourth primitive proposition was proved with the other primitve propositions by P. Bernays. Here comes the sledgehammer:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(7), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(7)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(1),
              PROP(7)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(7), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(7)), OR(PROP(3), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              2, 
              PROP(2),
              PROP(8)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(7), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(9), PROP(7)), OR(PROP(9), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              3, 
              PROP(3),
              PROP(9)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDSENTENCE ( LINK ("lem1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              1, 
              PROP(2),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (5, 6)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(9), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(7),
              OR(PROP(3), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              8, 
              PROP(8),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (7, 9)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              10, 
              PROP(9),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom3"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(6))),
            REPLACEPROP (
              12, 
              PROP(1),
              PROP(6)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(6), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(6))),
            REPLACEPROP (
              13, 
              PROP(2),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              14, 
              PROP(6),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(PROP(9), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(7),
              OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))))),
            REPLACEPROP (
              16, 
              PROP(8),
              OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)))),
            MODUSPONENS (15, 17)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1)))), OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)))),
            REPLACEPROP (
              18, 
              PROP(9),
              NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)))),
            REVERSEABBREVIATION (19, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)))),
            REVERSEABBREVIATION (20, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))),
            MODUSPONENS (11, 21)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(1), PROP(2))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom2"))
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), OR(PROP(3), PROP(2))),
            REPLACEPROP (
              23, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(3), OR(PROP(3), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              24, 
              PROP(2),
              PROP(1)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), OR(PROP(2), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              25, 
              PROP(3),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(1), OR(PROP(3), PROP(1))),
            REPLACEPROP (
              5, 
              PROP(2),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), PROP(1)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              27, 
              PROP(1),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), PROP(1)), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(9), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(7),
              OR(PROP(2), PROP(1))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), PROP(1)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              29, 
              PROP(8),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(9), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (28, 30)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(PROP(2)), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(NOT(PROP(2)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              31, 
              PROP(9),
              NOT(PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(NOT(PROP(2)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (32, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), OR(PROP(2), PROP(1))), IMPL(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (33, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (26, 34)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(9), PROP(2)), OR(PROP(9), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(7),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(2), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(OR(PROP(9), PROP(2)), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              36, 
              PROP(8),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(9), PROP(2)), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (35, 37)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              38, 
              PROP(9),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), PROP(1)), PROP(1)),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom1"))
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              40, 
              PROP(1),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(PROP(9), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(7),
              OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              42, 
              PROP(8),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (41, 43)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              44, 
              PROP(9),
              NOT(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), OR(NOT(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (45, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))), IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (46, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (39, 47)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)), PROP(8)), IMPL(OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(PROP(9), PROP(8)))),
            REPLACEPROP (
              4, 
              PROP(7),
              OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2)), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))), IMPL(OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))))),
            REPLACEPROP (
              49, 
              PROP(8),
              OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(9), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(PROP(9), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            MODUSPONENS (48, 50)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1)))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1)))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REPLACEPROP (
              51, 
              PROP(9),
              NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))))
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), OR(NOT(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1)))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (52, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))), PROP(2))), IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1))))),
            REVERSEABBREVIATION (53, LINK ("impl"), 1)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(2), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(2), PROP(1)))),
            MODUSPONENS (22, 54)
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(7), OR(PROP(3), PROP(1))), OR(PROP(3), OR(PROP(7), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              55, 
              PROP(2),
              PROP(7)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(7), OR(PROP(2), PROP(1))), OR(PROP(2), OR(PROP(7), PROP(1)))),
            REPLACEPROP (
              56, 
              PROP(3),
              PROP(2)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(7), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(7), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              57, 
              PROP(1),
              PROP(3)
            )
          ),
          LINE (
            IMPL(OR(PROP(1), OR(PROP(2), PROP(3))), OR(PROP(2), OR(PROP(1), PROP(3)))),
            REPLACEPROP (
              58, 
              PROP(7),
              PROP(1)
            )
          )
        )
      )
    ),
    PARAGRAPH (
      LABEL ("prin5"),
      "The fifth primitive proposition is our fourth axiom:",
      PROPOSITION (
        SENTENCE (
          IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2))))
        ),
        PROOF (
          LINE (
            IMPL(IMPL(PROP(1), PROP(2)), IMPL(OR(PROP(3), PROP(1)), OR(PROP(3), PROP(2)))),
            ADDAXIOM ( LINK ("axiom4"))
          )
        )
      )
    )
  )
)

