Elements of Mathematical Logic
Anfangsgründe der mathematischen Logik
Michael Meyling
Summary\index{summary}
Zusammenfassung\index{Zusammenfassung}
Foreword
Vorwort
Introduction
Einleitung
Language
Sprache
Terms\index{term} and Formulas\index{formula}
Terme\index{Term} und Formeln\index{Formel}
0\}$, the
\emph{function constants}\index{function constant}\index{constant!function}\footnote{Function constants are also introduced for convenience and are used for direct defined class functions. For example to define building of the power class operator, the union and intersection operator and the successor function. All these function constants can be interpreted as abbreviations.}
$H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, the
\emph{subject variables}\index{subject variable}\index{variable!subject}
$V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, as well as
\emph{predicate variables}\index{predicate variable}\index{variable!predicate}
$P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$.\footnote{By $\omega$ we understand
the natural numbers including zero. All involved symbols are pairwise disjoint. Therefore we can conclude for example:
$f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$
and $h^k_i \neq v_j$.}
For the \emph{arity}\index{arity} or \emph{rank}\index{rank} of an operator we take the
upper index. The set of predicate variables with zero arity is also called set of
\emph{proposition variables}\index{proposition variable}\index{variable!proposition} or \emph{sentence letters}\index{sentence letters}:
$A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$.
For subject variables we write short hand certain lower letters:
\mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'},
\mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'},
\mbox{$v_5 = $ `$z$'}.
Furthermore we use the following short notations:
for the predicate variables
$p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', where the appropriate arity $n$
is calculated by counting the subsequent parameters,
for the proposition variables
$a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' and
$a_3 = $ `$C$',
for the function variables:
$f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', where again the appropriate arity $n$ is calculated by counting the subsequent parameters.
All binary propositional operators are written in infix notation.
Parentheses surrounding groups of operands and operators are necessary to indicate the intended order in which operations are to be performed.
E.~g. for the operator $\land$ with the parameters $A$ and $B$ we write
$(A \land B)$.
In the absence of parentheses the usual precedence rules determine the order of operations.
Especially outermost parentheses are omitted.
\par
The operators have the order of precedence described below (starting with the highest).
$$
\begin{array}{c}
\neg, \forall, \exists \\
\land \\
\lor \\
\rightarrow, \leftrightarrow \\
\end{array}
$$
\par
The term \emph{term\index{term}} is defined recursively as follows:
\begin{enumerate}
\item Every subject variable is a term.
\item Let $i, k \in \omega$
and let $t_1$, \ldots, $t_k$ be terms. Then $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ is a term
and if $k > 0$, so $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ is a term too.
\end{enumerate}
Therefore all zero arity function constants $\{h^0_i~|~i \in \omega\}$ are terms. They are called \emph{individual constants}\index{individual constant}\index{constant!individual}.\footnote{In an analogous manner subject variables might be defined as function variables of zero arity. Because subject variables play an importent role they have their own notation.}
\par
We define a \emph{formula\index{formula}} and the relations \emph{free}\index{bound
subject variable}\index{subject variable!free} and \emph{bound}\index{bound subject variable}\index{subject variable!bound} subject variable recursivly as follows:
\begin{enumerate}
\item Every proposition variable is a formula. Such formulas contain no free or bound subject variables.
\item If $p^k$ is a predicate variable with arity $k$ and $c^k$ is a
predicate constant with arity $k$ and $t_1, t_2, \ldots, t_k$ are terms,
then $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ and
$c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ are formulas.
All subject variables that occur at least in one of $t_1, t_2, \ldots, t_k$ are free subject variables. Bound subject variables doesn't occur.\footnote{This second item includes the first one, which is only listed for clarity.}
\item Let $\alpha, \beta$ be formulas in which no subject variables occur bound in one formula and free in the other. Then $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$,
$(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$ and
$(\alpha \leftrightarrow \beta)$ are also formulas. Subject variables which occur free (respectively bound) in $\alpha$ or $\beta$ stay free (respectively bound).
\item If in the formula $\alpha$ the subject variable $x_1$ occurs not bound\footnote{This means that $x_1$ is free in the formula or doesn't occur at all.},
then also $\forall x_1~\alpha$ and $\exists x_1~\alpha$ are
formulas. The symbol $\forall$ is called
\emph{universal quantifier}\index{universal quantifier}\index{quantifier!universal} and $\exists$
as
\emph{existential quantifier}\index{existential quantifier}\index{quantifier!existential}.
Except for $x_1$ all free subject variables of $\alpha$ stay free. All bound subject variables are still bound and additionally $x_1$ is bound too.
\end{enumerate}
All formulas that are only built by usage of 1. and 3. are called formulas of the \emph{propositional calculus}\index{propositional calculus}\index{calculus!propositional}.
\par
For each formula $\alpha$ the following proposition holds: the set of free subject variables is disjoint with the set of bound subject variables..\footnote{
Other formalizations allow for example $\forall x_1~\alpha$ also if
$x_1$ occurs already bound within $\alpha$. Also propositions like
$\alpha(x) \land (\forall x_1 \beta)$ are allowed. In this formalizations
free and bound are defined for a single occurrence of a variable.}
\par
If a formula has the form $\forall x_1 ~ \alpha$ respectively
$\exists x_1 ~ \alpha$ then the formula $\alpha$ is called the
\emph{scope}\index{scope}\index{quantifier!scope} of the quantifier $\forall$ respectively $\exists$.
\par
All formulas that are used to build up a formula by 1. to 4. are called \emph{part formulas}\index{part formula}\index{formula!part}.
]]>
0\}$, die
\emph{Funktionskonstanten}\index{Funktionskonstanten}\index{Konstante!Funktions-}\footnote{Funktionskonstanten
dienen ebenfalls der Bequemlichkeit und werden später für direkt
definierte Klassenfunktionen verwendet. So zum Beispiel zur
Potenzklassenbildung, zur Vereinigungsklassenbildung und für die
Nachfolgerfunktion. All diese Funktionskonstanten können auch als
Abkürzungen verstanden werden.}
$H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, die
\emph{Subjektvariablen}\index{Subjektvariable}\index{Variable!Subjekt-}
$V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, sowie die
\emph{Prädikatenvariablen}\index{Prädikatenvariable}\index{Variable!Prädikaten-}
$P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$ vor.\footnote{Unter $\omega$ werden
die natürlichen Zahlen, die Null eingeschlossen, verstanden. Alle bei
den Mengenbildungen beteiligten Symbole werden als paarweise
verschieden vorausgesetzt. Das bedeutet z.~B.:
$f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$
und $h^k_i \neq v_j$.} Unter der \emph{Stellenzahl} eines Operators wird
der obere Index verstanden. Die Menge der nullstelligen
Prädikatenvariablen wird auch als Menge der
\emph{Aussagenvariablen}\index{Aussagenvariable}\index{Variable!Aussagen-}
bezeichnet: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$.
Für die Subjektvariablen werden abkürzend auch bestimmte Kleinbuchstaben
geschrieben. Die Kleinbuchstaben stehen für verschiedene
Subjektvariablen: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'},
\mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'},
\mbox{$v_5 = $ `$z$'}.
Weiter werden als Abkürzungen verwendet: für die Prädikatenvariablen
$p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', wobei die jeweilige
Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt
wird, für die Aussagenvariablen $a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' und
$a_3 = $ `$C$'. Als Abkürzungen für Funktionsvariablen wird festgelegt
$f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', wobei wiederum die jeweilige
Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt
wird. Bei allen aussagenlogischen zwei\-stelligen Operatoren wird der
leichteren Lesbarkeit wegen die Infixschreibweise benutzt, dabei werden
die Symbole `(' und `)' verwandt.
D.~h. für den Operator $\land$ mit den Argumenten $A$ und $B$ wird
$(A \land B)$ geschrieben.
Es gelten die üblichen Operatorprioritäten und die dazugehörigen
Klammerregeln. Insbesondere die äußeren Klammern werden in der Regel
weggelassen.
\par
Nachfolgend werden die Operatoren mit absteigender Priorität aufgelistet.
$$
\begin{array}{c}
\neg, \forall, \exists \\
\land \\
\lor \\
\rightarrow, \leftrightarrow \\
\end{array}
$$
\par
Der Begriff \emph{Term\index{Term}} wird im Folgenden rekursiv
definiert:
\begin{enumerate}
\item Jede Subjektvariable ist ein Term. \item Seien $i, k \in \omega$
und $t_1$, \ldots, $t_k$ Terme. Dann ist auch $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$
und falls $k > 0$, so auch $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ ein Term.
\end{enumerate}
Alle nullstelligen Funktionskonstanten $\{h^0_i~|~i, \in \omega\}$ sind
demzufolge Terme, sie werden auch \emph{Individuenkonstanten}\index{Individuenkonstante}\index{Konstante!Individuen-}
genannt.\footnote{Analog dazu könnten Subjektvariablen auch als
nullstellige Funktionsvariablen definiert werden. Da die
Subjektvariablen jedoch eine hervorgehobene Rolle spielen, werden sie
auch gesondert bezeichnet.}
\par
Die Begriffe \emph{Formel\index{Formel}}, \emph{freie\index{freie
Subjektvariable}\index{Subjektvariable!freie}} und
\emph{gebundene\index{gebundene
Subjektvariable}\index{Subjektvariable!gebundene}} Subjektvariable
werden rekursiv wie folgt definiert:
\begin{enumerate}
\item Jede Aussagenvariable ist eine Formel, solche Formeln enthalten
keine freien oder gebundenen Subjektvariablen.
\item Ist $p^k$ eine $k$-stellige Prädikatenvariable und $c^k$ eine
$k$-stellige Prädikatenkonstante und sind $t_1, t_2, \ldots, t_k$ Terme,
so sind $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ und
$c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ Formeln. Dabei gelten alle in
$t_1, t_2, \ldots, t_k$ vorkommenden Subjektvariablen als freie
Subjektvariablen, gebundene Subjektvariablen kommen nicht
vor.\footnote{Dieser zweite Punkt umfasst den ersten, welcher nur der
Anschaulichkeit wegen extra aufgeführt ist.}
\item Es seien $\alpha, \beta$ Formeln, in denen keine Subjektvariablen
vorkommen, die in einer Formel gebunden und in der anderen frei sind.
Dann sind auch $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$,
$(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$,
$(\alpha \leftrightarrow \beta)$ Formeln. Subjektvariablen, welche in
$\alpha$ oder $\beta$ frei (bzw. gebunden) vorkommen, bleiben frei (bzw.
gebunden).
\item Falls in der Formel $\alpha$ die Subjektvariable $x_1$ nicht
gebunden vorkommt\footnote{D.~h. $x_1$ kommt höchstens frei vor.},
dann sind auch $\forall x_1~\alpha$ und $\exists x_1~\alpha$
Formeln. Dabei wird $\forall$ als
\emph{Allquantor}\index{Allquantor}\index{Quantor!All-} und $\exists$
als
\emph{Existenzquantor}\index{Existenzquantor}\index{Quantor!Existenz-}
bezeichnet. Bis auf $x_1$ bleiben alle freien Subjektvariablen von
$\alpha$ auch frei, und zu den gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$
kommt $x_1$ hinzu.
\end{enumerate}
Alle Formeln die nur durch Anwendung von 1. und 3. gebildet werden,
heißen Formeln der \emph{Aussagenalgebra}.
\par
Es gilt für jede Formel $\alpha$: die Menge der freien und der
gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ sind disjunkt.\footnote{
Andere Formalisierungen erlauben z.~B. $\forall x_1~\alpha$ auch dann, wenn
$x_1$ schon in $\alpha$ gebunden vorkommt. Auch Ausdrücke wie
$\alpha(x) \land (\forall x_1 \beta)$ sind erlaubt. Dort wird dann
für ein einzelnes Vorkommen einer Variablen definiert ob es sich um ein
freies oder gebundenes Vorkommen handelt.}
\par
Falls eine Formel die Gestalt $\forall x_1 ~ \alpha$ bzw.
$\exists x_1 ~ \alpha$ besitzt, dann heißt die Formel $\alpha$ der
\emph{Wirkungsbereich} des Quantors $\forall$ bzw. $\exists$.
\par
Alle Formeln, die beim Aufbau einer Formel mittels 1. bis 4. benötigt
werden, heißen \emph{Teilformeln}.
]]>
Axioms and Rules of Inference
Axiome und Schlussregeln
Axioms\index{axioms!of predicate calculus}\index{predicate calculus!axioms}
Axiome\index{Axiome!der Prädikatenlogik}\index{Prädikatenlogik!Axiome der}
implication definition
Definition der Implikation
Implication\index{definition!of implication}
Implikation\index{Definition!der Implikation}
#1 \rightarrow #2
conjunction definition
Definition der Und-Verknüpfung
Conjunction\index{definition!of conjunction}
Und-Verknüpfung\index{Definition!der Und-Verknüpfung}
#1 \land #2
equivalence definition
Definition der Äquivalenz
Equivalence\index{definition!of equivalence}
Äquivalenz\index{Definition!der Äquivalenz}
#1 \land #2
axiom of disjunction idempotence
Axiom der Oder-Kürzung
Disjunction Idempotence\index{axiom!of disjunction idempotence}
Oder-Kürzung\index{Axiom!der Oder-Kürzung}
axiom of weakening
Axiom der Oder-Verdünnung
Axiom of Weakening\index{axiom!of weakening}
Oder-Verdünnung\index{Axiom!der Oder-Verdünnung}
commutativity of the disjunction
Kommutativgesetz der Oder-Verknüpfung
Commutativity of the Disjunction\index{axiom!of weakening}
Oder-Vertauschung\index{Axiom!der Oder-Vertauschung}
axiom of disunctive addition
Axiom der Oder-Vorsehung
Disjunctive Addition\index{axiom!of disjunctive addition}
Oder-Vorsehung\index{Axiom!der Oder-Vorsehung}
axiom of universal instantiation
Axiom der Spezialisierung
Universal Instantiation\index{axiom!of universal instantiation}
Spezialisierung\index{Axiom!der Spezialisierung}
axiom of existential generalization
Axiom der Existenz
Existential Generalization\index{axiom!of existential generalization}
Existenz\index{Axiom!der Existenz}
Rules of Inference\index{rules!of predicate calculus}\index{rules!of inference}
Ableitungsregeln\index{Regeln!predikatenlogische}
modus ponens
Modus Ponens
Modus Ponens\index{Modus Ponens}
Abtrennung, Modus Ponens\index{Modus Ponens}\index{Abtrennungsregel}
replace free subject variable
Ersetzung für freie Subjektvariable
Replace Free Subject Variable
Ersetzung für freie Subjektvariable
rename bound subject variable
Umbenennung für gebundene Subjektvariable
Rename Bound Subject Variable
Umbenennung für gebundene Subjektvariable
replace predicate variable
Einsetzung für Prädikatenvariable
Replace Predicate Variable
Einsetzung für Prädikatenvariable
replace function variable
Einsetzung für Funktionsvariable
Replace Function Variable
Einsetzung für Funktionsvariable
introduction of universal quantifier
Hintere Generalisierung
Universal Quantifier Introduction
Hintere Generalisierung\index{Generalisierung!hintere}
introduction of existential quantifier
Vordere Partikularisierung
Existential Quantifier Introduction
Vordere Partikularisierung\index{Partikularisierung!vordere}
Derived Propositions
Abgeleitete Sätze
Propositional Calculus
Aussagenlogik
true
wahr
True\index{true}
Wahr\index{wahr}
\top
false
falsch
False\index{false}
Falsch\index{falsch}
\bot
basic propositions
Elementare Sätze
Basic Propositions\index{propositions!of propositional calculus}
Elementare Sätze\index{Sätze!der Aussagenlogik}
Predicate Calculus
Prädikatenlogik
Derived Rules
Abgeleitete Regeln
Identy
Identität
Identy Axioms
Axiome der Identität
++ TODO Quantifiers\index{Quantifiers!+++TODO}
Eingeschränkte Quantoren\index{Quantor!eingeschränkter}
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