Michael Meyling

0\}$, the \emph{function constants}\index{function constant}\index{constant!function}\footnote{Function constants are also introduced for convenience and are used for direct defined class functions. For example to define building of the power class operator, the union and intersection operator and the successor function. All these function constants can be interpreted as abbreviations.} $H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, the \emph{subject variables}\index{subject variable}\index{variable!subject} $V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, as well as \emph{predicate variables}\index{predicate variable}\index{variable!predicate} $P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$.\footnote{By $\omega$ we understand the natural numbers including zero. All involved symbols are pairwise disjoint. Therefore we can conclude for example: $f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$ and $h^k_i \neq v_j$.} For the \emph{arity}\index{arity} or \emph{rank}\index{rank} of an operator we take the upper index. The set of predicate variables with zero arity is also called set of \emph{proposition variables}\index{proposition variable}\index{variable!proposition} or \emph{sentence letters}\index{sentence letters}: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$. For subject variables we write short hand certain lower letters: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'}, \mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'}, \mbox{$v_5 = $ `$z$'}. Furthermore we use the following short notations: for the predicate variables $p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', where the appropriate arity $n$ is calculated by counting the subsequent parameters, for the proposition variables $a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' and $a_3 = $ `$C$', for the function variables: $f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', where again the appropriate arity $n$ is calculated by counting the subsequent parameters. All binary propositional operators are written in infix notation. Parentheses surrounding groups of operands and operators are necessary to indicate the intended order in which operations are to be performed. E.~g. for the operator $\land$ with the parameters $A$ and $B$ we write $(A \land B)$. In the absence of parentheses the usual precedence rules determine the order of operations. Especially outermost parentheses are omitted. Also empty parentheses are stripped. \par The operators have the order of precedence described below (starting with the highest). $$ \begin{array}{c} \neg, \forall, \exists \\ \land \\ \lor \\ \rightarrow, \leftrightarrow \\ \end{array} $$ \par The term \emph{term\index{term}} is defined recursively as follows: \begin{enumerate} \item Every subject variable is a term. \item Let $i, k \in \omega$ and let $t_1$, \ldots, $t_k$ be terms. Then $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ is a term and if $k > 0$, so $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ is a term too. \end{enumerate} Therefore all zero arity function constants $\{h^0_i~|~i \in \omega\}$ are terms. They are called \emph{individual constants}\index{individual constant}\index{constant!individual}.\footnote{In an analogous manner subject variables might be defined as function variables of zero arity. Because subject variables play an important role they have their own notation.} \par We define a \emph{formula\index{formula}} and the relations \emph{free}\index{bound subject variable}\index{subject variable!free} and \emph{bound}\index{bound subject variable}\index{subject variable!bound} subject variable recursivly as follows: \begin{enumerate} \item Every proposition variable is a formula. Such formulas contain no free or bound subject variables. \item If $p^k$ is a predicate variable with arity $k$ and $c^k$ is a predicate constant with arity $k$ and $t_1, t_2, \ldots, t_k$ are terms, then $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ and $c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ are formulas. All subject variables that occur at least in one of $t_1, t_2, \ldots, t_k$ are free subject variables. Bound subject variables does not occur.\footnote{This second item includes the first one, which is only listed for clarity.} \item Let $\alpha, \beta$ be formulas in which no subject variables occur bound in one formula and free in the other. Then $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$, $(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$ and $(\alpha \leftrightarrow \beta)$ are also formulas. Subject variables which occur free (respectively bound) in $\alpha$ or $\beta$ stay free (respectively bound). \item If in the formula $\alpha$ the subject variable $x_1$ occurs not bound\footnote{This means that $x_1$ is free in the formula or does not occur at all.}, then also $\forall x_1~\alpha$ and $\exists x_1~\alpha$ are formulas. The symbol $\forall$ is called \emph{universal quantifier}\index{universal quantifier}\index{quantifier!universal} and $\exists$ as \emph{existential quantifier}\index{existential quantifier}\index{quantifier!existential}. Except for $x_1$ all free subject variables of $\alpha$ stay free. All bound subject variables are still bound and additionally $x_1$ is bound too. \end{enumerate} All formulas that are only built by usage of 1. and 3. are called formulas of the \emph{propositional calculus}\index{propositional calculus}\index{calculus!propositional}. \par For each formula $\alpha$ the following proposition holds: the set of free subject variables is disjoint with the set of bound subject variables..\footnote{Other formalizations allow for example $\forall x_1~\alpha$ also if $x_1$ occurs already bound within $\alpha$. Also propositions like $\alpha(x) \land (\forall x_1 \beta)$ are allowed. In this formalizations free and bound are defined for a single occurrence of a variable.} \par If a formula has the form $\forall x_1 ~ \alpha$ respectively $\exists x_1 ~ \alpha$ then the formula $\alpha$ is called the \emph{scope}\index{scope}\index{quantifier!scope} of the quantifier $\forall$ respectively $\exists$. \par All formulas that are used to build up a formula by 1. to 4. are called \emph{part formulas}\index{part formula}\index{formula!part}. ]]> 0\}$, die \emph{Funktionskonstanten}\index{Funktionskonstanten}\index{Konstante!Funktions-}\footnote{Funktionskonstanten dienen ebenfalls der Bequemlichkeit und werden sp?ter f?r direkt definierte Klassenfunktionen verwendet. So zum Beispiel zur Potenzklassenbildung, zur Vereinigungsklassenbildung und f?r die Nachfolgerfunktion. All diese Funktionskonstanten k?nnen auch als Abk?rzungen verstanden werden.} $H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, die \emph{Subjektvariablen}\index{Subjektvariable}\index{Variable!Subjekt-} $V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, sowie die \emph{Pr?dikatenvariablen}\index{Pr?dikatenvariable}\index{Variable!Pr?dikaten-} $P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$ vor.\footnote{Unter $\omega$ werden die nat?rlichen Zahlen, die Null eingeschlossen, verstanden. Alle bei den Mengenbildungen beteiligten Symbole werden als paarweise verschieden vorausgesetzt. Das bedeutet z.~B.: $f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$ und $h^k_i \neq v_j$.} Unter der \emph{Stellenzahl} eines Operators wird der obere Index verstanden. Die Menge der nullstelligen Pr?dikatenvariablen wird auch als Menge der \emph{Aussagenvariablen}\index{Aussagenvariable}\index{Variable!Aussagen-} bezeichnet: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$. F?r die Subjektvariablen werden abk?rzend auch bestimmte Kleinbuchstaben geschrieben. Die Kleinbuchstaben stehen f?r verschiedene Subjektvariablen: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'}, \mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'}, \mbox{$v_5 = $ `$z$'}. Weiter werden als Abk?rzungen verwendet: f?r die Pr?dikatenvariablen $p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', wobei die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird, f?r die Aussagenvariablen $a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' und $a_3 = $ `$C$'. Als Abk?rzungen f?r Funktionsvariablen wird festgelegt $f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', wobei wiederum die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird. Bei allen aussagenlogischen zwei\-stelligen Operatoren wird der leichteren Lesbarkeit wegen die Infixschreibweise benutzt, dabei werden die Symbole `(' und `)' verwandt. D.~h. f?r den Operator $\land$ mit den Argumenten $A$ und $B$ wird $(A \land B)$ geschrieben. Es gelten die ?blichen Operatorpriorit?ten und die dazugeh?rigen Klammerregeln. Insbesondere die ?u?eren Klammern werden in der Regel weggelassen. Auch werden leere Klammern nicht geschrieben. \par Nachfolgend werden die Operatoren mit absteigender Priorit?t aufgelistet. $$ \begin{array}{c} \neg, \forall, \exists \\ \land \\ \lor \\ \rightarrow, \leftrightarrow \\ \end{array} $$ \par Der Begriff \emph{Term\index{Term}} wird im Folgenden rekursiv definiert: \begin{enumerate} \item Jede Subjektvariable ist ein Term. \item Seien $i, k \in \omega$ und $t_1$, \ldots, $t_k$ Terme. Dann ist auch $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ und falls $k > 0$, so auch $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ ein Term. \end{enumerate} Alle nullstelligen Funktionskonstanten $\{h^0_i~|~i, \in \omega\}$ sind demzufolge Terme, sie werden auch \emph{Individuenkonstanten}\index{Individuenkonstante}\index{Konstante!Individuen-} genannt.\footnote{Analog dazu k?nnten Subjektvariablen auch als nullstellige Funktionsvariablen definiert werden. Da die Subjektvariablen jedoch eine hervorgehobene Rolle spielen, werden sie auch gesondert bezeichnet.} \par Die Begriffe \emph{Formel\index{Formel}}, \emph{freie\index{freie Subjektvariable}\index{Subjektvariable!freie}} und \emph{gebundene\index{gebundene Subjektvariable}\index{Subjektvariable!gebundene}} Subjektvariable werden rekursiv wie folgt definiert: \begin{enumerate} \item Jede Aussagenvariable ist eine Formel, solche Formeln enthalten keine freien oder gebundenen Subjektvariablen. \item Ist $p^k$ eine $k$-stellige Pr?dikatenvariable und $c^k$ eine $k$-stellige Pr?dikatenkonstante und sind $t_1, t_2, \ldots, t_k$ Terme, so sind $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ und $c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ Formeln. Dabei gelten alle in $t_1, t_2, \ldots, t_k$ vorkommenden Subjektvariablen als freie Subjektvariablen, gebundene Subjektvariablen kommen nicht vor.\footnote{Dieser zweite Punkt umfasst den ersten, welcher nur der Anschaulichkeit wegen extra aufgef?hrt ist.} \item Es seien $\alpha, \beta$ Formeln, in denen keine Subjektvariablen vorkommen, die in einer Formel gebunden und in der anderen frei sind. Dann sind auch $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$, $(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$, $(\alpha \leftrightarrow \beta)$ Formeln. Subjektvariablen, welche in $\alpha$ oder $\beta$ frei (bzw. gebunden) vorkommen, bleiben frei (bzw. gebunden). \item Falls in der Formel $\alpha$ die Subjektvariable $x_1$ nicht gebunden vorkommt\footnote{D.~h. $x_1$ kommt h?chstens frei vor.}, dann sind auch $\forall x_1~\alpha$ und $\exists x_1~\alpha$ Formeln. Dabei wird $\forall$ als \emph{Allquantor}\index{Allquantor}\index{Quantor!All-} und $\exists$ als \emph{Existenzquantor}\index{Existenzquantor}\index{Quantor!Existenz-} bezeichnet. Bis auf $x_1$ bleiben alle freien Subjektvariablen von $\alpha$ auch frei, und zu den gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ kommt $x_1$ hinzu. \end{enumerate} Alle Formeln die nur durch Anwendung von 1. und 3. gebildet werden, hei?en Formeln der \emph{Aussagenalgebra}. \par Es gilt f?r jede Formel $\alpha$: die Menge der freien und der gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ sind disjunkt.\footnote{Andere Formalisierungen erlauben z.~B. $\forall x_1~\alpha$ auch dann, wenn $x_1$ schon in $\alpha$ gebunden vorkommt. Auch Ausdr?cke wie $\alpha(x) \land (\forall x_1 \beta)$ sind erlaubt. Dort wird dann f?r ein einzelnes Vorkommen einer Variablen definiert ob es sich um ein freies oder gebundenes Vorkommen handelt.} \par Falls eine Formel die Gestalt $\forall x_1 ~ \alpha$ bzw. $\exists x_1 ~ \alpha$ besitzt, dann hei?t die Formel $\alpha$ der \emph{Wirkungsbereich} des Quantors $\forall$ bzw. $\exists$. \par Alle Formeln, die beim Aufbau einer Formel mittels 1. bis 4. ben?tigt werden, hei?en \emph{Teilformeln}. ]]>

implication definition Definition der Implikation #1 \rightarrow #2 conjunction definition Definition der Und-Verkn?pfung #1 \land #2 equivalence definition Definition der ?quivalenz #1 \land #2 axiom of disjunction idempotence Axiom der Oder-K?rzung axiom of weakening Axiom der Oder-Verd?nnung commutativity of the disjunction Kommutativgesetz der Oder-Verkn?pfung axiom of disunctive addition Axiom der Oder-Vorsehung axiom of universal instantiation Axiom der Spezialisierung axiom of existential generalization Axiom der Existenz

modus ponens Modus Ponens replace free subject variable Ersetzung f?r freie Subjektvariable rename bound subject variable Umbenennung f?r gebundene Subjektvariable replace predicate variable Einsetzung f?r Pr?dikatenvariable replace function variable Einsetzung f?r Funktionsvariable introduction of universal quantifier Hintere Generalisierung introduction of existential quantifier Vordere Partikularisierung

true wahr \top false falsch \bot basic propositions Elementare S?tze

basic propositions Elementare S?tze

replace by logical equivalent formula Ersetzung durch logisch ?quivalente Formel replace $\top$ by true formula Ersetzung von $\top$ durch wahre Formel replace true formula by $\top$ Ersetzung von wahrer Formel durch $\top$ derived quantification abgeleitete Quantifizierung general associativity allgemeine Assoziativit?t allgemeine Kommutativit?t general commutativity Ableitbarkeit aus einer Formel deducible from formula allgemeine Kommutativit?t Deduktionstheorem

identity definition Definition der Identit?t #1 \ = \ #2 not identical definition Definition der Verschiedenheit #1 \ \neq \ #2 reflexivity of identity Reflexivit?t der Identit?t Leibniz' replacement Leibnizsche Ersetzbarkeit symmetry of identity Symmetrie der Identit?t transetivity of identity Transitivit?t der Identit?t

definition restricted universal quantifier Definition eingeschr?nker Allquantor \forall \ #2(#1) \ (#3(#1)) definition restricted existential quantifier Definition eingeschr?nker Existenzquantor \exists \ #2(#1) \ (#3(#1)) definition restricted uniqueness quantifier Definition eingeschr?nker Existenzquantor f?r genau ein Individuum \exists! \ #2(#1) \ (#3(#1))