Axiomatic Set Theory
Axiomatische Mengenlehre
Michael Meyling
Preface\label{ch:preface}
Vorwort\label{ch:preface}
Introduction\label{ch:introduction}
Einleitung\label{ch:introduction}
Basics
Anfangsgründe
Classes and SetsKlassen und Mengenis a member ofist enthalten inMembership OperatorElementbeziehung#1 \in #2is not a member ofist nicht enthalten inNon Membership OperatorNegation der Elementbeziehung#1 \notin #2axiom of extensionalityExtensionalitätsaxiomExtensionality\index{axiom!of extensionality}Extensionalität\index{Extensionalitätsaxiom}
This a simple consequence of the second identity axiom. We assume $x=y$. Then follows $\phi(x) \leftrightarrow \phi(y)$ for any predicate $\phi$. So follows $z \in x \leftrightarrow z \in y$ for any $z$. Therefore we have $\forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. So we derived $x = y \ \rightarrow \ \forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. Together with \qref{axiom:extensionality} we get the desired result.
Dies ist eine einfache Anwendung des zweiten identitätslogischen Axioms. Wir setzen $x=y$ voraus. Nun folgt $\phi(x) \leftrightarrow \phi(y)$ für jedes Prädikat $\phi$. So bekommen wir $z \in x \leftrightarrow z \in y$ für beliebiges $z$. Also haben wir $\forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. Damit zeigten wir $x = y \ \rightarrow \ \forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. Zusammen mit dem \qref{axiom:extensionality} erhalten wir das gewünschte Ergebnis.
is setist MengeSet\index{set!definition}Menge\index{Menge!Definition}
Now we specify \emph{sets}.
Jetzt legen wir fest, was eine \emph{Menge} ist.
\mathfrak{M}(#1)axiom of comprehensionKomprehensionsaxiomComprehensionKomprehensionclass definitionKlassenschreibweiseClass definitionKlassenschreibweiseclass definition axiomKlassenschreibweisenaxiomClass Definition Axiom\index{axiom!class definition}Axiom der Klassenschreibweise\index{Axiom!der Klassenschreibweise}
Special Classes
Spezielle Klassen
Russell classRussellsche KlasseRussell Class\index{Russell!class of}\index{class!Russell}Russell-Klasse\index{Russell!-sche Klasse}\index{Klasse!Russellsche}\mathfrak{Ru}universal classAllklasseUniversal Class\index{class!universal}\index{universal class}Allklasse\index{Klasse!All-}\index{Allklasse}\mathfrak{V}empty classLeere KlasseEmpty Class\index{empty class}\index{empty set}\index{class!empty}\index{set!empty}Leere Klasse\index{leere Klasse}\index{leere Menge}\index{Klasse!leere}\index{Menge!leere}\emptyset
Boolean Algebra of Classes\index{Boolean algebra!of classes}
Boolesche Algebra der Klassen\index{Boolesche Algebra!der Klassen}
Boolean Class Operators
Boolesche Klassenoperatoren
unionvereinigt mitUnion Operator\index{union}\index{class!union}Vereinigung\index{Vereinigung}\index{Klasse!Vereinigung}(#1 \cup #2)intersectiongeschnitten mitIntersection Operator\index{intersection}\index{class!intersection}Durchschnitt\index{Durchschnitt}\index{Klasse!Durchschnitt}(#1 \cap #2)complementKomplement vonComplement Operator\index{complement}\index{class!complement}Komplement\index{Komplement}\index{Klasse!Komplement}\overline{#1}
Boolean Algebra\index{Boolean algebra}
Boolsche Algebra\index{Boolesche Algebra}
Order\index{order}
Ordnung\index{Ordnung}
subclassTeilklasse vonSubclass Predicate\index{subclass}\index{inclusion}Teilklasse\index{Teilklasse}#1 \ \subseteq \ #2
Singletons and Class Pairs
Einerklassen und Klassenpaare
singletonEinerklasseSingleton\index{singleton}Einerklasse\index{Einerklasse}\index{Klasse!Einer-}\{ #1 \}pairPaarPair\index{pair}Paar\index{Paar}\index{Klasse!Paar-}\{ #1, #2 \}
Infinite Boolean Operators
Unendliche Boolsche Operatoren
set productMengenproduktSet Product\index{set product}\index{product!of sets}Mengenprodukt\index{Mengenprodukt}\index{Produkt!von Mengen}\bigcap \ #1set sumMengensummeSet Sum\index{set sum}\index{sum!of sets}Mengensumme\index{Mengensumme}\index{Summe!von Mengen}\bigcup \ #1
Power Class Building
Potenzklassenbildung
powerPotenzklassePower Class\index{class!power}Potenzklasse\index{Klasse!Potenz-}\mathfrak{P}(#1)
Sets, Relations and Functions
Mengen, Relationen und Funktionen
Sets
Mengen
empty set axiomNullmengenaxiomEmpty Set Axiom\index{axiom!empty set}Axiom der leeren Menge\index{Axiom!der leeren Menge}pairing set axiomPaarmengenaxiomPairing Set Axiom\index{axiom!pairing set}Axiom der Paarmenge\index{Axiom!Paarmengen-}sum set axiomSummenmengenaxiomAxiom of the Sum Set\index{axiom!of the sum set}Summenmengenaxiom\index{Axiom!Summenmengen-}power set axiomPotenzmengenaxiomPower Set Axiom\index{axiom!power set}Axiom der Potenzmenge\index{Axiom!Potenzmengen-}subset axiomTeilmengenaxiomSubset Axiom\index{axiom!subset}Teilmengenaxiom\index{Axiom!Teilmengen-}
Ordered Pair
Geordnetes Klassenpaar
ordered pairgeordnetes PaarOrdered Pair\index{pair!ordered}\index{ordered pair}Geordnetes Paar\index{geordnetes Paar}\index{Paar!geordnetes}\langle #1, #2 \rangleis ordered pairist geordnetes PaarOrdered Pair Property\index{ordered pair!property}\index{pair!ordered}Eigenschaft geordnetes Paar\index{Paar!geordnetes}\mbox{isOrderedPair}(#1)
Cartesian Product
Kartesisches Produkt
Cartesian productKartesisches ProduktCartesian Product\index{product!Cartesian}\index{Cartesian product}\index{direct product}\index{product!direct}Kartesisches Produkt\index{Produkt!kartesisches}\index{Produkt!Kreuz-}\index{Kartesisches Produkt}\index{Kreuzprodukt}( #1 \times #2)
Relations
Relationen
is relationist eine RelationRelation\index{relation}Relation\index{relation}\mathfrak{Rel}(#1)domain ofDefinitionsbereich vonDomain\index{domain}Definitionsbereich\index{Definitionsbereich}\mathfrak{Dom}(#1)range ofWertebereich vonRange\index{range}Wertebereich\index{Wertebereich}\mathfrak{Rng}(#1)
Relation Algebra
Relationenalgebra
Equivalence Relations
Äquivalenzrelationen
Maps and Functions
Abbildungen und Funktionen
is functionist eine FunktionFunction\index{function}Funktion\index{Funktion}\mathfrak{Funct}(#1)Fraenkel's replacement axiomFraenkelsches ErsetzungsaxiomFraenkel's Replacement Axiom\index{axiom!of replacement}\index{Fraenkel's replacement axiom}Fraenkelsches Ersetzungsaxiom\index{Axiom!Fraenkelsches Ersetzungs-}\index{Substitutionsaxiom}\index{Fraenkel}
Natural Numbers
Natürliche Zahlen
Foundation and Infinity
Fundierung und Unendlichkeit
axiom of foundationFundierungsaxiomAxiom of Foundation\index{axiom!of foundation}\index{axiom!of regularity}Fundierungsaxiom\index{Axiom!Fundierungs-}\index{Axiom!Regularitäts-}successorNachfolgerSuccessor\index{successor}Nachfolger\index{Nachfolger}#1'axiom of infinityUnendlichkeitsaxiomAxiom of Infinity\index{infinity!axiom of}\index{axiom!of infinity}Unendlichkeitsaxiom\index{Unendlichkeit!-saxiom}\index{Axiom!Unendlichkeits-}
Definition and Basic Properties
Definition und Grundeigenschaften
Induction
Induktion
Sequences and Normal Functions
Folgen und normale Funktionen
Recursion
Rekursion
Axiom of Choice
Auswahlaxiom
Well-Ordering
Wohlordnungen
axiom of choiceAuswahlaxiomAxiom of Choice\index{axiom!of foundation}Auswahlaxiom\index{Axiom!Auswahl-}
Applications of the Axiom of Choice
Anwendungen des Auswahlaxioms
Continuum
Kontinuum