<LATEX language="en">
Axiomatic Set Theory
</LATEX>
<LATEX language="de">
Axiomatische Mengenlehre
</LATEX>
Michael Meyling
<LATEX language="en">
Preface\label{ch:preface}
</LATEX>
<LATEX language="de">
Vorwort\label{ch:preface}
</LATEX>
<LATEX language="en">
Introduction\label{ch:introduction}
</LATEX>
<LATEX language="de">
Einleitung\label{ch:introduction}
</LATEX>
<LATEX language="en">
Basics
</LATEX>
<LATEX language="de">
Anfangsgründe
</LATEX>
<LATEX language="en">Classes and Sets</LATEX>
<LATEX language="de">Klassen und Mengen</LATEX>
is a member of
ist enthalten in
<LATEX language="en">Membership Operator</LATEX>
<LATEX language="de">Elementbeziehung</LATEX>
#1 \in #2
is not a member of
ist nicht enthalten in
<LATEX language="en">Non Membership Operator</LATEX>
<LATEX language="de">Negation der Elementbeziehung</LATEX>
#1 \notin #2
axiom of extensionality
Extensionalitätsaxiom
<LATEX language="en">Extensionality\index{axiom!of extensionality}</LATEX>
<LATEX language="de">Extensionalität\index{Extensionalitätsaxiom}</LATEX>
This a simple consequence of the second identity axiom. We assume $x=y$. Then follows $\phi(x) \leftrightarrow \phi(y)$ for any predicate $\phi$. So follows $z \in x \leftrightarrow z \in y$ for any $z$. Therefore we have $\forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. So we derived $x = y \ \rightarrow \ \forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. Together with \qref{axiom:extensionality} we get the desired result.
Dies ist eine einfache Anwendung des zweiten identitätslogischen Axioms. Wir setzen $x=y$ voraus. Nun folgt $\phi(x) \leftrightarrow \phi(y)$ für jedes Prädikat $\phi$. So bekommen wir $z \in x \leftrightarrow z \in y$ für beliebiges $z$. Also haben wir $\forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. Damit zeigten wir $x = y \ \rightarrow \ \forall \ z \ z \in x \leftrightarrow \ z \in y$. Zusammen mit dem \qref{axiom:extensionality} erhalten wir das gewünschte Ergebnis.
is set
ist Menge
<LATEX language="en">Set\index{set!definition}</LATEX>
<LATEX language="de">Menge\index{Menge!Definition}</LATEX>
Now we specify \emph{sets}.
Jetzt legen wir fest, was eine \emph{Menge} ist.
\mathfrak{M}(#1)
axiom of comprehension
Komprehensionsaxiom
<LATEX language="en">Comprehension</LATEX>
<LATEX language="de">Komprehension</LATEX>
class definition
Klassenschreibweise
<LATEX language="en">Class definition</LATEX>
<LATEX language="de">Klassenschreibweise</LATEX>
class definition axiom
Klassenschreibweisenaxiom
<LATEX language="en">Class Definition Axiom\index{axiom!class definition}</LATEX>
<LATEX language="de">Axiom der Klassenschreibweise\index{Axiom!der Klassenschreibweise}</LATEX>
<LATEX language="en">
Special Classes
</LATEX>
<LATEX language="de">
Spezielle Klassen
</LATEX>
Russell class
Russellsche Klasse
<LATEX language="en">Russell Class\index{Russell!class of}\index{class!Russell}</LATEX>
<LATEX language="de">Russell-Klasse\index{Russell!-sche Klasse}\index{Klasse!Russellsche}</LATEX>
\mathfrak{Ru}
universal class
Allklasse
<LATEX language="en">Universal Class\index{class!universal}\index{universal class}</LATEX>
<LATEX language="de">Allklasse\index{Klasse!All-}\index{Allklasse}</LATEX>
\mathfrak{V}
empty class
Leere Klasse
<LATEX language="en">Empty Class\index{empty class}\index{empty set}\index{class!empty}\index{set!empty}</LATEX>
<LATEX language="de">Leere Klasse\index{leere Klasse}\index{leere Menge}\index{Klasse!leere}\index{Menge!leere}</LATEX>
\emptyset
<LATEX language="en">
Boolean Algebra of Classes\index{Boolean algebra!of classes}
</LATEX>
<LATEX language="de">
Boolesche Algebra der Klassen\index{Boolesche Algebra!der Klassen}
</LATEX>
<LATEX language="en">
Boolean Class Operators
</LATEX>
<LATEX language="de">
Boolesche Klassenoperatoren
</LATEX>
union
vereinigt mit
<LATEX language="en">Union Operator\index{union}\index{class!union}</LATEX>
<LATEX language="de">Vereinigung\index{Vereinigung}\index{Klasse!Vereinigung}</LATEX>
(#1 \cup #2)
intersection
geschnitten mit
<LATEX language="en">Intersection Operator\index{intersection}\index{class!intersection}</LATEX>
<LATEX language="de">Durchschnitt\index{Durchschnitt}\index{Klasse!Durchschnitt}</LATEX>
(#1 \cap #2)
complement
Komplement von
<LATEX language="en">Complement Operator\index{complement}\index{class!complement}</LATEX>
<LATEX language="de">Komplement\index{Komplement}\index{Klasse!Komplement}</LATEX>
\overline{#1}
<LATEX language="en">
Boolean Algebra\index{Boolean algebra}
</LATEX>
<LATEX language="de">
Boolsche Algebra\index{Boolesche Algebra}
</LATEX>
<LATEX language="en">
Order\index{order}
</LATEX>
<LATEX language="de">
Ordnung\index{Ordnung}
</LATEX>
subclass
Teilklasse von
<LATEX language="en">Subclass Predicate\index{subclass}\index{inclusion}</LATEX>
<LATEX language="de">Teilklasse\index{Teilklasse}</LATEX>
#1 \ \subseteq \ #2
<LATEX language="en">
Singletons and Class Pairs
</LATEX>
<LATEX language="de">
Einerklassen und Klassenpaare
</LATEX>
singleton
Einerklasse
<LATEX language="en">Singleton\index{singleton}</LATEX>
<LATEX language="de">Einerklasse\index{Einerklasse}\index{Klasse!Einer-}</LATEX>
\{ #1 \}
pair
Paar
<LATEX language="en">Pair\index{pair}</LATEX>
<LATEX language="de">Paar\index{Paar}\index{Klasse!Paar-}</LATEX>
\{ #1, #2 \}
<LATEX language="en">
Infinite Boolean Operators
</LATEX>
<LATEX language="de">
Unendliche Boolsche Operatoren
</LATEX>
set product
Mengenprodukt
<LATEX language="en">Set Product\index{set product}\index{product!of sets}</LATEX>
<LATEX language="de">Mengenprodukt\index{Mengenprodukt}\index{Produkt!von Mengen}</LATEX>
\bigcap \ #1
set sum
Mengensumme
<LATEX language="en">Set Sum\index{set sum}\index{sum!of sets}</LATEX>
<LATEX language="de">Mengensumme\index{Mengensumme}\index{Summe!von Mengen}</LATEX>
\bigcup \ #1
<LATEX language="en">
Power Class Building
</LATEX>
<LATEX language="de">
Potenzklassenbildung
</LATEX>
power
Potenzklasse
<LATEX language="en">Power Class\index{class!power}</LATEX>
<LATEX language="de">Potenzklasse\index{Klasse!Potenz-}</LATEX>
\mathfrak{P}(#1)
<LATEX language="en">
Sets, Relations and Functions
</LATEX>
<LATEX language="de">
Mengen, Relationen und Funktionen
</LATEX>
<LATEX language="en">
Sets
</LATEX>
<LATEX language="de">
Mengen
</LATEX>
empty set axiom
Nullmengenaxiom
<LATEX language="en">Empty Set Axiom\index{axiom!empty set}</LATEX>
<LATEX language="de">Axiom der leeren Menge\index{Axiom!der leeren Menge}</LATEX>
pairing set axiom
Paarmengenaxiom
<LATEX language="en">Pairing Set Axiom\index{axiom!pairing set}</LATEX>
<LATEX language="de">Axiom der Paarmenge\index{Axiom!Paarmengen-}</LATEX>
sum set axiom
Summenmengenaxiom
<LATEX language="en">Axiom of the Sum Set\index{axiom!of the sum set}</LATEX>
<LATEX language="de">Summenmengenaxiom\index{Axiom!Summenmengen-}</LATEX>
power set axiom
Potenzmengenaxiom
<LATEX language="en">Power Set Axiom\index{axiom!power set}</LATEX>
<LATEX language="de">Axiom der Potenzmenge\index{Axiom!Potenzmengen-}</LATEX>
subset axiom
Teilmengenaxiom
<LATEX language="en">Subset Axiom\index{axiom!subset}</LATEX>
<LATEX language="de">Teilmengenaxiom\index{Axiom!Teilmengen-}</LATEX>
<LATEX language="en">
Ordered Pair
</LATEX>
<LATEX language="de">
Geordnetes Klassenpaar
</LATEX>
ordered pair
geordnetes Paar
<LATEX language="en">Ordered Pair\index{pair!ordered}\index{ordered pair}</LATEX>
<LATEX language="de">Geordnetes Paar\index{geordnetes Paar}\index{Paar!geordnetes}</LATEX>
\langle #1, #2 \rangle
is ordered pair
ist geordnetes Paar
<LATEX language="en">Ordered Pair Property\index{ordered pair!property}\index{pair!ordered}</LATEX>
<LATEX language="de">Eigenschaft geordnetes Paar\index{Paar!geordnetes}</LATEX>
\mbox{isOrderedPair}(#1)
<LATEX language="en">
Cartesian Product
</LATEX>
<LATEX language="de">
Kartesisches Produkt
</LATEX>
Cartesian product
Kartesisches Produkt
<LATEX language="en">Cartesian Product\index{product!Cartesian}\index{Cartesian product}\index{direct product}\index{product!direct}</LATEX>
<LATEX language="de">Kartesisches Produkt\index{Produkt!kartesisches}\index{Produkt!Kreuz-}\index{Kartesisches Produkt}\index{Kreuzprodukt}</LATEX>
( #1 \times #2)
<LATEX language="en">
Relations
</LATEX>
<LATEX language="de">
Relationen
</LATEX>
is relation
ist eine Relation
<LATEX language="en">Relation\index{relation}</LATEX>
<LATEX language="de">Relation\index{relation}</LATEX>
\mathfrak{Rel}(#1)
domain of
Definitionsbereich von
<LATEX language="en">Domain\index{domain}</LATEX>
<LATEX language="de">Definitionsbereich\index{Definitionsbereich}</LATEX>
\mathfrak{Dom}(#1)
range of
Wertebereich von
<LATEX language="en">Range\index{range}</LATEX>
<LATEX language="de">Wertebereich\index{Wertebereich}</LATEX>
\mathfrak{Rng}(#1)
<LATEX language="en">
Relation Algebra
</LATEX>
<LATEX language="de">
Relationenalgebra
</LATEX>
<LATEX language="en">
Equivalence Relations
</LATEX>
<LATEX language="de">
Äquivalenzrelationen
</LATEX>
<LATEX language="en">
Maps and Functions
</LATEX>
<LATEX language="de">
Abbildungen und Funktionen
</LATEX>
is function
ist eine Funktion
<LATEX language="en">Function\index{function}</LATEX>
<LATEX language="de">Funktion\index{Funktion}</LATEX>
\mathfrak{Funct}(#1)
Fraenkel's replacement axiom
Fraenkelsches Ersetzungsaxiom
<LATEX language="en">Fraenkel's Replacement Axiom\index{axiom!of replacement}\index{Fraenkel's replacement axiom}</LATEX>
<LATEX language="de">Fraenkelsches Ersetzungsaxiom\index{Axiom!Fraenkelsches Ersetzungs-}\index{Substitutionsaxiom}\index{Fraenkel}</LATEX>
<LATEX language="en">
Natural Numbers
</LATEX>
<LATEX language="de">
Natürliche Zahlen
</LATEX>
<LATEX language="en">
Foundation and Infinity
</LATEX>
<LATEX language="de">
Fundierung und Unendlichkeit
</LATEX>
axiom of foundation
Fundierungsaxiom
<LATEX language="en">Axiom of Foundation\index{axiom!of foundation}\index{axiom!of regularity}</LATEX>
<LATEX language="de">Fundierungsaxiom\index{Axiom!Fundierungs-}\index{Axiom!Regularitäts-}</LATEX>
successor
Nachfolger
<LATEX language="en">Successor\index{successor}</LATEX>
<LATEX language="de">Nachfolger\index{Nachfolger}</LATEX>
#1'
axiom of infinity
Unendlichkeitsaxiom
<LATEX language="en">Axiom of Infinity\index{infinity!axiom of}\index{axiom!of infinity}</LATEX>
<LATEX language="de">Unendlichkeitsaxiom\index{Unendlichkeit!-saxiom}\index{Axiom!Unendlichkeits-}</LATEX>
<LATEX language="en">
Definition and Basic Properties
</LATEX>
<LATEX language="de">
Definition und Grundeigenschaften
</LATEX>
<LATEX language="en">
Induction
</LATEX>
<LATEX language="de">
Induktion
</LATEX>
<LATEX language="en">
Sequences and Normal Functions
</LATEX>
<LATEX language="de">
Folgen und normale Funktionen
</LATEX>
<LATEX language="en">
Recursion
</LATEX>
<LATEX language="de">
Rekursion
</LATEX>
<LATEX language="en">
Axiom of Choice
</LATEX>
<LATEX language="de">
Auswahlaxiom
</LATEX>
<LATEX language="en">
Well-Ordering
</LATEX>
<LATEX language="de">
Wohlordnungen
</LATEX>
axiom of choice
Auswahlaxiom
<LATEX language="en">Axiom of Choice\index{axiom!of foundation}</LATEX>
<LATEX language="de">Auswahlaxiom\index{Axiom!Auswahl-}</LATEX>
<LATEX language="en">
Applications of the Axiom of Choice
</LATEX>
<LATEX language="de">
Anwendungen des Auswahlaxioms
</LATEX>
<LATEX language="en">
Continuum
</LATEX>
<LATEX language="de">
Kontinuum
</LATEX>
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