Elements of Mathematical Logic
Anfangsgründe der mathematischen Logik
Michael Meyling
Summary\index{summary}
Zusammenfassung\index{Zusammenfassung}
Foreword
Vorwort
Introduction
Einleitung
Language
Sprache
Terme\index{term} and Formulas\index{formula}
Terme\index{Term} und Formeln\index{Formel}
0\}$, die
\emph{Funktionskonstanten}\index{Funktionskonstanten}\index{Konstante!Funktions-}\footnote{Funktionskonstanten
dienen ebenfalls der Bequemlichkeit und werden später für direkt
definierte Klassenfunktionen verwendet. So zum Beispiel zur
Potenzklassenbildung, zur Vereinigungsklassenbildung und für die
Nachfolgerfunktion. All diese Funktionskonstanten können auch als
Abkürzungen verstanden werden.}
$H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, die
\emph{Subjektvariablen}\index{Subjektvariable}\index{Variable!Subjekt-}
$V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, sowie die
\emph{Prädikatenvariablen}\index{Prädikatenvariable}\index{Variable!Prädikaten-}
$P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$ vor.\footnote{Unter $\omega$ werden
die natürlichen Zahlen, die Null eingeschlossen, verstanden. Alle bei
den Mengenbildungen beteiligten Symbole werden als paarweise
verschieden vorausgesetzt. Das bedeutet z.~B.:
$f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$
und $h^k_i \neq v_j$.} Unter der \emph{Stellenzahl} eines Operators wird
der obere Index verstanden. Die Menge der nullstelligen
Prädikatenvariablen wird auch als Menge der
\emph{Aussagenvariablen}\index{Aussagenvariable}\index{Variable!Aussagen-}
bezeichnet: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$.
Für die Subjektvariablen werden abkürzend auch bestimmte Kleinbuchstaben
geschrieben. Die Kleinbuchstaben stehen für verschiedene
Subjektvariablen: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'},
\mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'},
\mbox{$v_5 = $ `$z$'}.
Weiter werden als Abkürzungen verwendet: für die Prädikatenvariablen
$p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', wobei die jeweilige
Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt
wird, für die Aussagenvariablen $a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' und
$a_3 = $ `$C$'. Als Abkürzungen für Funktionsvariablen wird festgelegt
$f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', wobei wiederum die jeweilige
Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt
wird. Bei allen aussagenlogischen zwei\-stelligen Operatoren wird der
leichteren Lesbarkeit wegen die Infixschreibweise benutzt, dabei werden
die Symbole `(' und `)' verwandt.
D.~h. für den Operator $\land$ mit den Argumenten $A$ und $B$ wird
$(A \land B)$ geschrieben.
Es gelten die üblichen Operatorprioritäten und die dazugehörigen
Klammerregeln. Insbesondere die äußeren Klammern werden in der Regel
weggelassen.
\par
Nachfolgend werden die Operatoren mit absteigender Priorität aufgelistet.
$$
\begin{array}{c}
\neg, \forall, \exists \\
\land \\
\lor \\
\rightarrow, \leftrightarrow \\
\end{array}
$$
\par
Der Begriff \emph{Term\index{Term}} wird im Folgenden rekursiv
definiert:
\begin{enumerate}
\item Jede Subjektvariable ist ein Term. \item Seien $i, k \in \omega$
und $t_1$, \ldots, $t_k$ Terme. Dann ist auch $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$
und falls $k > 0$, so auch $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ ein Term.
\end{enumerate}
Alle nullstelligen Funktionskonstanten $\{h^0_i~|~i, \in \omega\}$ sind
demzufolge Terme, sie werden auch \emph{Individuenkonstanten}
genannt.\footnote{Analog dazu könnten Subjektvariablen auch als
nullstellige Funktionsvariablen definiert werden. Da die
Subjektvariablen jedoch eine hervorgehobene Rolle spielen, werden sie
auch gesondert bezeichnet.}
\par
Die Begriffe \emph{Formel\index{Formel}}, \emph{freie\index{freie
Subjektvariable}\index{Subjektvariable!freie}} und
\emph{gebundene\index{gebundene
Subjektvariable}\index{Subjektvariable!gebundene}} Subjektvariable
werden rekursiv wie folgt definiert:
\begin{enumerate}
\item Jede Aussagenvariable ist eine Formel, solche Formeln enthalten
keine freien oder gebundenen Subjektvariablen.
\item Ist $p^k$ eine $k$-stellige Prädikatenvariable und $c^k$ eine
$k$-stellige Prädikatenkonstante und sind $t_1, t_2, \ldots, t_k$ Terme,
so sind $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ und
$c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ Formeln. Dabei gelten alle in
$t_1, t_2, \ldots, t_k$ vorkommenden Subjektvariablen als freie
Subjektvariablen, gebundene Subjektvariablen kommen nicht
vor.\footnote{Dieser zweite Punkt umfasst den ersten, welcher nur der
Anschaulichkeit wegen extra aufgeführt ist.}
\item Falls in der Formel $\alpha$ die Subjektvariable $x_1$ nicht
gebunden vorkommt\footnote{D.~h. $x_1$ kommt höchstens frei vor.},
dann sind auch $\forall x_1~\alpha$ und $\exists x_1~\alpha$
Formeln\footnote{Dabei wird $\forall$ als
\emph{Allquantor}\index{Allquantor}\index{Quantor!All-} und $\exists$
als
\emph{Existenzquantor}\index{Existenzquantor}\index{Quantor!Existenz-}
bezeichnet}, und bis auf $x_1$ bleiben alle freien Subjektvariablen von
$\alpha$ auch frei, und zu den gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$
kommt $x_1$ hinzu.
\item Es seien $\alpha, \beta$ Formeln, in denen keine Subjektvariablen
vorkommen, die in einer Formel gebunden und in der anderen frei sind.
Dann sind auch $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$,
$(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$,
$(\alpha \leftrightarrow \beta)$ Formeln. Subjektvariablen, welche in
$\alpha$, $\beta$ frei (bzw. gebunden) vorkommen, bleiben frei (bzw.
gebunden).
\end{enumerate}
Alle Formeln die nur durch Anwendung von 1. und 4. gebildet werden,
heißen Formeln der \emph{Aussagenalgebra}.
\par
Es gilt für jede Formel $\alpha$: die Menge der freien und der
gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ sind disjunkt.
\par
Falls eine Formel die Gestalt $\forall x_1 ~ \alpha$ bzw.
$\exists x_1 ~ \alpha$ besitzt, dann heißt die Formel $\alpha$ der
\emph{Wirkungsbereich} des Quantors $\forall$ bzw. $\exists$.
\par
Alle Formeln, die beim Aufbau einer Formel mittels 1. bis 4. benötigt
werden, heißen \emph{Teilformeln}.
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Axioms and Rules
Axiome und Schlussregeln
Aussagenlogische Axiome\index{Axiome!aussagenlogische}
implication definition
Definition der Implikation
Implication\index{definition!of implication}
Implikation\index{Definition!der Implikation}
#1 \rightarrow #2
conjunction definition
Definition der Und-Verknüpfung
Conjunction\index{definition!of conjunction}
Und-Verknüpfung\index{Definition!der Und-Verknüpfung}
#1 \land #2
equivalence definition
Definition der Äquivalenz
Equivalence\index{definition!of equivalence}
Äquivalenz\index{Definition!der Äquivalenz}
#1 \land #2
axiom of disjunction idempotence
Axiom der Oder-Kürzung
Disjunction Idempotence\index{axiom!of disjunction idempotence}
Oder-Kürzung\index{Axiom!der Oder-Kürzung}
axiom of weakening
Axiom der Oder-Verdünnung
Axiom of Weakening\index{axiom!of weakening}
Oder-Verdünnung\index{Axiom!der Oder-Verdünnung}
commutativity of the disjunction
Kommutativgesetz der Oder-Verknüpfung
Commutativity of the Disjunction\index{axiom!of weakening}
Oder-Vertauschung\index{Axiom!der Oder-Vertauschung}
axiom of disunctive addition
Axiom der Oder-Vorsehung
Disunctive Addition\index{axiom!of disunctive addition}
Oder-Vorsehung\index{Axiom!der Oder-Vorsehung}
modus ponens
Modus Ponens
Modus Ponens
Abtrennung, Modus Ponens\index{Modus Ponens}\index{Abtrennungsregel}
Prädikatenlogische Axiome\index{Axiome!predikatenlogische}
Derived Propositions
Abgeleitete Sätze
Elementare aussagenlogische Sätze
Elementary Propositional Calculus
Elementary Predicate Calculus
Elementare Sätze der Prädikatenlogik
Derived Rules
Abgeleitete Regeln
Identy
Identität
Identy Axioms
Axiome der Identität
++ TODO Quantifiers\index{Quantifiers!+++TODO}
Eingeschränkte Quantoren\index{Quantor!eingeschränkter}
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