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Mathematik
In Hilbert II wird eine formale Sprache verwendet, die es gestattet, die meisten Gebiete der Mathematik vollständig zu beschreiben. Es handelt sich um eine Prädikatenlogik erster Stufe, die nach den Darlegungen in Grundzüge der mathematischen Logik von P. S. Novikov gestaltet ist. Dabei stammen die logischen Axiome und Basisschlussregeln aus dem Buch Grundzüge der theoretischen Logik (1928) von D. Hilbert und W. Ackermann.
Neben logischen Axiomen benötigt Hilbert II nur die Axiome der axiomatischen Mengenlehre. Die Axiome aller anderen Theorien können, wie in der Mathematik üblich, als einfache Definitionen von Prädikatskonstanten ausgedrückt werden.
Aus Praktikablitätsgründen ist die hier verwendete Mengenlehre nicht ZFC sondern Morse-Kelley (eine imprädikative Erweiterung von Neumann-Bernays-Gödel). Unser mathematische Ausgangspunkt ist E. J. Lemmons großartiger Text Introduction to Axiomatic Set Theory.
Der Prototyp setzt bereits einen Großteil der angegebene Prädikatenlogik um, nur Prädikatenkonstanten, Funktionsvariablen und Funktionskonstanten werden noch nicht unterstützt. Vom Prototypen werden auch nur die Basisregeln und leichte Erweiterungen unterstützt, so dass die Beweise noch sehr detailliert und sperrig sind.
Ein Überblick über die verwendete Logik Hilbert II ist in dem Skript Anfangsgründe der mathematischen Logik zu finden. Hier sind alle Regeln, Axiome, Definitionen und Sätze versammelt. Die Sätze sind zwar noch nicht vollständig und Beweise fehlen zur Zeit noch, dennoch wird die mathematische Ausrichtung deutlich. Die wichtigsten Teile sind bereits in dem Dokument Language and Rules of Predicate Calculus enthalten, in dem die logischen Grundlagen des Prototypen aufgeführt sind.
Weiter geht es in den folgenden Abschnitten:
| Aussagenlogik |
Logische Regeln, Axiome, Definitionen und aussagenlogische Sätze des Prototypen. |
| Prädikatenlogik |
Weitere, prädikatenlogische Sätze des Prototypen. |
| Axiomatische Mengenlehre |
Aufbau der Mengenlehre. Dies ist ein unfertiges Dokument und wird von Zeit zu Zeit akutalisiert. Insbesondere an den durch "+++" gekennzeichneten Stellen werden noch Änderungen vorgenommen. Siehe auch unter Planung. |
Literaturliste
- D. Hilbert und W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin: Springer, 1928.
- P. S. Novikov, Grundzüge der mathematischen Logik, Berlin: VEB, 1973.
- A. N. Whitehead und B. Russell, Principia Mathematica, London: Cambridge University Press, 1910.
- E. J. Lemmon, Introduction to Axiomatic Set Theory, London: Routledge & Kegan Paul Ltd, 1968.
- J. Schmidt, Mengenlehre I, Mannheim: BI, 1966.
- J. D. Monk, Introduction to Set Theory, New York: McGraw-Hill, 1996.
- G. Takenti, W. M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, New York: Springer, 1971.
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