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Mathematik
Logik
In Hilbert II wird eine formale Sprache verwendet, die es gestattet, die meisten Gebiete der Mathematik vollständig zu beschreiben. Es handelt sich um eine Prädikatenlogik erster Stufe, die nach den Darlegungen in Grundzüge der mathematischen Logik von P. S. Novikov gestaltet ist. Dabei stammen die logischen Axiome und Basisschlussregeln aus dem Buch Grundzüge der theoretischen Logik (1928) von D. Hilbert und W. Ackermann.
Ein Überblick über die verwendete Logik Hilbert II ist in dem Skript Anfangsgründe der mathematischen Logik zu finden. Hier sind alle Regeln, Axiome, Definitionen und Sätze versammelt. Die Sätze sind zwar noch nicht vollständig und Beweise fehlen zur Zeit noch, dennoch wird die mathematische Ausrichtung deutlich.
Inzwischen gibt bereits ein Skript mit den Axiomen und Ableitungsregeln der Predikatenlogik erste Stufe, welches die Anfangspropositionen der Aussagenlogik inklusive formaler Beweise enthält: qedeq_formal_logic_v1.
Mengenlehre
Neben logischen Axiomen benötigt Hilbert II nur die Axiome der axiomatischen Mengenlehre. Die Axiome aller anderen Theorien können, wie in der Mathematik üblich, als einfache Definitionen von Prädikatskonstanten ausgedrückt werden.
Aus Praktikablitätsgründen ist die hier verwendete Mengenlehre nicht ZFC sondern Morse-Kelley (eine imprädikative Erweiterung von Neumann-Bernays-Gödel). Unser mathematische Ausgangspunkt ist E. J. Lemmons großartiger Text Introduction to Axiomatic Set Theory.
In Axiomatische Mengenlehre
wird der Aufbau der Mengenlehre systematisch vorgenommen. Dies ist ein unfertiges Dokument und wird von Zeit zu Zeit aktualisiert. Insbesondere an den durch "+++" gekennzeichneten Stellen werden noch Änderungen vorgenommen. Siehe auch unter Planung.
Literaturliste
- D. Hilbert und W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin: Springer, 1928.
- P. S. Novikov, Grundzüge der mathematischen Logik, Berlin: VEB, 1973.
- A. N. Whitehead und B. Russell, Principia Mathematica, London: Cambridge University Press, 1910.
- E. J. Lemmon, Introduction to Axiomatic Set Theory, London: Routledge & Kegan Paul Ltd, 1968.
- J. Schmidt, Mengenlehre I, Mannheim: BI, 1966.
- J. D. Monk, Introduction to Set Theory, New York: McGraw-Hill, 1996.
- G. Takenti, W. M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, New York: Springer, 1971.
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